Diagonalfunktor

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Diagonalfunktor ein Funktor, der es erlaubt, eine Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} in die Kategorie der Funktoren ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}} für eine beliebige nichtleere (kleine) Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} einzubetten. Der Name rührt daher, dass für ein diskretes ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} mit zwei Elementen der Diagonalfunktor gerade die Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}},u\mapsto (u,u)}${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}},u\mapsto (u,u)} ist.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} eine Kategorie und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} eine kleine Kategorie. Dann ist der Diagonalfunktor ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } definiert als Abbildung, die jedem Morphismus ${\displaystyle u\in {\mathcal {C}}}${\displaystyle u\in {\mathcal {C}}} eine natürliche Transformation ${\displaystyle \Delta (u)\in {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}}${\displaystyle \Delta (u)\in {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}} zuordnet, wobei ${\displaystyle \Delta (u)}${\displaystyle \Delta (u)} dadurch gegeben sei, dass sie jedem Objekt und damit jedem Morphismus in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} den Morphismus ${\displaystyle u}${\displaystyle u} zuweise. Für ein Objekt ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}} ist ${\displaystyle \Delta (A)}${\displaystyle \Delta (A)} offensichtlich ein Funktor. Um nun einzusehen, dass ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } tatsächlich Funktor ist, betrachte man für Morphismen ${\displaystyle u\colon A\to B}${\displaystyle u\colon A\to B} und ${\displaystyle v\colon B\to C}${\displaystyle v\colon B\to C} aus der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} die Verkettung der natürlichen Transformationen ${\displaystyle \Delta (u)}${\displaystyle \Delta (u)} und ${\displaystyle \Delta (v)}${\displaystyle \Delta (v)}, dies ergibt per Definition für jedes ${\displaystyle \phi \colon X\to Y}${\displaystyle \phi \colon X\to Y} in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} das folgende kommutative Diagramm:

Dieses ist nichts anderes als:

Dies entspricht der natürlichen Transformation ${\displaystyle \Delta (uv)}${\displaystyle \Delta (uv)}, womit bewiesen ist, dass ${\displaystyle \Delta (uv)=\Delta (u)\Delta (v)}${\displaystyle \Delta (uv)=\Delta (u)\Delta (v)}. Für nichtleeres ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} ist ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } offensichtlich injektiv, bettet also ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} in die entsprechende Funktorkategorie ein. Unter einer bestimmten Voraussetzung ist ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } auch voll: Sei ${\displaystyle \alpha \colon \Delta (A)\to \Delta (B)}${\displaystyle \alpha \colon \Delta (A)\to \Delta (B)} natürliche Transformation, d. h., dass für jedes ${\displaystyle \phi \colon X\to Y}${\displaystyle \phi \colon X\to Y} in ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} das Diagramm

kommutiert (denn ${\displaystyle \Delta (A)(\phi )=A}${\displaystyle \Delta (A)(\phi )=A} und ${\displaystyle \Delta (B)(\phi )=B}${\displaystyle \Delta (B)(\phi )=B}). Was nichts anderes heißt, als dass ${\displaystyle \alpha (X)=\alpha (Y)}${\displaystyle \alpha (X)=\alpha (Y)}, wann immer ein Morphismus zwischen ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} existiert. Falls die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} als Graph aufgefasst schwach zusammenhängend ist, ist ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } also konstant und somit im Bild von ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta }, womit ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } voll ist.^[1] Dies ist beispielsweise für eine Pfeilkategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}} oder allgemeiner für ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} mit Anfangs- oder Endobjekt erfüllt, nicht dagegen für ein Produkt ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {D}}} für diskretes ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}} mit mindestens zwei Elementen.

Ein Kegel bezüglich eines Funktors ${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} ist nichts anderes als ein Objekt in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} versehen mit einer natürlichen Transformation von ${\displaystyle \Delta (A)}${\displaystyle \Delta (A)} nach ${\displaystyle F}${\displaystyle F}. Ein Limes von ${\displaystyle F}${\displaystyle F} ist dabei ein spezieller Kegel, nämlich eine ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta }-kouniverselle Lösung für ${\displaystyle F}${\displaystyle F}. Dual dazu ist ein Kolimes von ${\displaystyle F}${\displaystyle F} ein spezieller Kokegel, nämlich eine ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta }-universelle Lösung für ${\displaystyle F}${\displaystyle F}. Besitzt ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } einen rechtsadjungierten Funktor, so ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} vollständig bezüglich Limites auf ${\displaystyle {\mathcal {D}}}${\displaystyle {\mathcal {D}}}, die Umkehrung gilt ebenfalls. Dieser adjungierte Funktor ist gerade der Limesfunktor. Entsprechend ist der Kolimesfunktor (wenn er existiert) linksadjungiert zum Diagonalfunktor.^[2]

Der Diagonalfunktor ist stetig, d. h., er erhält alle Limites, die in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} existieren. Ebenso erhält er alle Kolimites.^[3]

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98403-8. 
• Dieter Pumplün: Elemente der Kategorientheorie. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999, ISBN 3-86025-676-9. 

• diagonal functor , Eintrag im nLab. (englisch)

1. ↑ Pumplün, S. 105–106
2. ↑ Mac Lane, S. 233
3. ↑ Pumplün, S. 169

• Kategorientheorie