Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

• Ein Objekt ${\displaystyle X}${\displaystyle X} heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} der Kategorie genau einen Morphismus ${\displaystyle X\to Y}${\displaystyle X\to Y} gibt.
• Ein Objekt ${\displaystyle X}${\displaystyle X} heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} der Kategorie genau einen Morphismus ${\displaystyle Y\to X}${\displaystyle Y\to X} gibt.
• Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

• Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
• Je zwei Endobjekte sind isomorph.
• Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
• Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

• Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
• Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

• In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge das Anfangsobjekt und jede einelementige Menge ein Endobjekt. Diese Kategorie hat kein Nullobjekt.
• In der Kategorie der Gruppen oder der abelschen Gruppen ist die triviale Gruppe (die nur aus dem neutralen Element besteht) Nullobjekt.
• In der Kategorie der nichtleeren Halbgruppen gibt es kein Anfangsobjekt. Lässt man die leere Halbgruppe zu, so ist diese das Anfangsobjekt. In beiden Fällen ist jede einelementige Halbgruppe Endobjekt.
• In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper (oder allgemeiner der Moduln über einem Ring) ist der Nullvektorraum (bzw. der Nullmodul) Nullobjekt.
• In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist der Ring Z der ganzen Zahlen Anfangsobjekt und der Nullring Endobjekt.
• In der Kategorie beliebiger Ringe ist der Nullring Nullobjekt.
• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.
• Man kann jede partielle Ordnung als Kategorie auffassen, indem man festlegt, dass genau dann ein Pfeil von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} nach ${\displaystyle y}${\displaystyle y} geht, wenn ${\displaystyle x\leq y}${\displaystyle x\leq y} gilt. Ein Anfangsobjekt entspricht dann dem kleinsten Element der Ordnung (falls es existiert). Ein Endobjekt entspricht dem größten Element.

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0}, so gibt es zu je zwei Objekten ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus ${\displaystyle 0\colon X\to Y}${\displaystyle 0\colon X\to Y}, der die Verkettung von

${\displaystyle X\to 0\to Y}${\displaystyle X\to 0\to Y}

ist. Genauer schreibt man ${\displaystyle 0_{X,Y}}${\displaystyle 0_{X,Y}}, um die Abhängigkeit von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt ${\displaystyle 0_{X,Y}=0_{X',Y'}}${\displaystyle 0_{X,Y}=0_{X',Y'}} nur für ${\displaystyle X=X'}${\displaystyle X=X'} und ${\displaystyle Y=Y'}${\displaystyle Y=Y'}.

Nullmorphismen ${\displaystyle 0\colon X\to Y}${\displaystyle 0\colon X\to Y} in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus ${\displaystyle X}${\displaystyle X} auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} abbilden. Beispiele sind:

• In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus ${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y}${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y} derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus ${\displaystyle X}${\displaystyle X} auf das neutrale Element von ${\displaystyle e_{Y}\in Y}${\displaystyle e_{Y}\in Y} abbildet, das heißt ${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=e_{Y}}${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=e_{Y}} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X}.
• In der Kategorie der Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ist der Nullmorphismus ${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y}${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y} diejenige ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-lineare Abbildung, die jedes Element aus ${\displaystyle X}${\displaystyle X} auf das Nullelement von ${\displaystyle 0_{Y}\in Y}${\displaystyle 0_{Y}\in Y} abbildet, das heißt ${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=0_{Y}}${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=0_{Y}} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X}.
• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus ${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y}${\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y} diejenige Abbildung, die jedes Element aus ${\displaystyle X}${\displaystyle X} auf den ausgezeichneten Punkt ${\displaystyle p_{Y}\in Y}${\displaystyle p_{Y}\in Y} abbildet, das heißt ${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=p_{Y}}${\displaystyle 0_{X,Y}(x)=p_{Y}} für alle ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X}. Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, dieser ist als Differenzkern des Paares ${\displaystyle (f,0)}${\displaystyle (f,0)} definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

• Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zürich 1973, ISBN 3-411-014420-2 , Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen.

• Kategorientheorie