Projektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Es seien ${\displaystyle C}${\displaystyle C} eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein Objekt aus ${\displaystyle C}${\displaystyle C}. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}

projektive Auflösung von ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, wenn sämtliche ${\displaystyle P_{i}}${\displaystyle P_{i}} projektiv sind.^{[1] [2]}

Sind alle ${\displaystyle P_{j}}${\displaystyle P_{j}} sogar frei, so spricht man von einer freien Auflösung.

Ist in der abelschen Kategorie ${\displaystyle C}${\displaystyle C} jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} (C)}${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} (C)} einen Epimorphismus ${\displaystyle P\rightarrow X}${\displaystyle P\rightarrow X}, in dem ${\displaystyle P}${\displaystyle P} projektiv ist, so sagt man auch, ${\displaystyle C}${\displaystyle C} besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt ${\displaystyle A}${\displaystyle A} eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus ${\displaystyle p_{0}\colon P_{0}\rightarrow A}${\displaystyle p_{0}\colon P_{0}\rightarrow A}, dann weiter ein Epimorphismus ${\displaystyle p_{1}\colon P_{1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{0})}${\displaystyle p_{1}\colon P_{1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{0})} auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter ${\displaystyle p_{n+1}\colon P_{n+1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{n})}${\displaystyle p_{n+1}\colon P_{n+1}\rightarrow \operatorname {ker} (p_{n})}.

Die wichtigste Kategorie mit genügend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}} der (Links-)Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}${\displaystyle R}. Ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein solcher Modul und ist ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}} ein Erzeugendensystem, so hat man einen surjektiven Homomorphismus ${\displaystyle R^{I}\rightarrow A}${\displaystyle R^{I}\rightarrow A}, indem man das ${\displaystyle i}${\displaystyle i}-te Basiselement des freien Moduls ${\displaystyle R^{I}}${\displaystyle R^{I}} auf ${\displaystyle a_{i}}${\displaystyle a_{i}} abbildet. Da freie Moduln projektiv sind, ist ${\displaystyle A}${\displaystyle A} Quotient eines projektiven Moduls und damit hat ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}}${\displaystyle \mathrm {Mod} _{R}} genügend viele projektive Objekte.^[3]

Ist

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}

eine projektive Auflösung und

${\displaystyle \cdots \rightarrow A'_{2}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'\rightarrow 0}${\displaystyle \cdots \rightarrow A'_{2}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'\rightarrow 0}

exakt, so lässt sich jeder ${\displaystyle C}${\displaystyle C}-Homomorphismus ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A'}${\displaystyle f\colon A\rightarrow A'} (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \rightarrow &P_{2}&\rightarrow &P_{1}&\rightarrow &P_{0}&\rightarrow &A&\rightarrow 0\\\cdots &\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots \rightarrow &A'_{2}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'&\rightarrow 0\end{matrix}}}${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots \rightarrow &P_{2}&\rightarrow &P_{1}&\rightarrow &P_{0}&\rightarrow &A&\rightarrow 0\\\cdots &\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots \rightarrow &A'_{2}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'&\rightarrow 0\end{matrix}}}

ergänzen.^[4]

• Der duale Begriff ist der der injektiven Auflösung.
• Eine Anwendung finden projektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.
• Fundamentallemma der homologischen Algebra
• Lemma von Schanuel

1. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel VII, Projektive Auflösungen
2. ↑ P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Definition 2.5
3. ↑ P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Satz 2.7
4. ↑ P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Lemma 2.8 + anschließende Bemerkung

• Homologische Algebra
• Kategorientheorie