Differenzkern

Ein Differenzkern, auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

In einer Kategorie seien zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y} gegeben. Ein Differenzkern von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} und ${\displaystyle g}${\displaystyle g} ist ein Morphismus ${\displaystyle i\colon Z\rightarrow X}${\displaystyle i\colon Z\rightarrow X} mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle f\circ i=g\circ i}${\displaystyle f\circ i=g\circ i} und
• zu jedem Morphismus ${\displaystyle i'\colon Z'\to X}${\displaystyle i'\colon Z'\to X}, für den ${\displaystyle f\circ i'=g\circ i'}${\displaystyle f\circ i'=g\circ i'} gilt, gibt es genau einen Morphismus ${\displaystyle c\colon Z'\to Z}${\displaystyle c\colon Z'\to Z}, so dass ${\displaystyle i'=i\circ c}${\displaystyle i'=i\circ c}.^{[1] [2]}

• In den Kategorien Set der Mengen, Top der topologischen Räume, ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Mod der Linksmoduln über einem Ring ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ist in der Situation obiger Definition die Inklusionsabbildung

${\displaystyle i\colon \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\hookrightarrow X}${\displaystyle i\colon \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\hookrightarrow X}

ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist

${\displaystyle \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}=\{x\in X\mid (f-g)(x)=0\}}${\displaystyle \{x\in X\mid f(x)=g(x)\}=\{x\in X\mid (f-g)(x)=0\}}

automatisch ein Untermodul, der mit dem Kern der Differenz ${\displaystyle f-g}${\displaystyle f-g} zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.

• In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
• Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition ${\displaystyle g=0_{XY}}${\displaystyle g=0_{XY}} der Nullmorphismus ${\displaystyle X\rightarrow Y}${\displaystyle X\rightarrow Y}, so ist ein Differenzkern von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} und ${\displaystyle 0_{XY}}${\displaystyle 0_{XY}} nichts anderes als ein Kern von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}. Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

• Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition ${\displaystyle i\colon Z\rightarrow X}${\displaystyle i\colon Z\rightarrow X} und ${\displaystyle {\tilde {i}}\colon {\tilde {Z}}\rightarrow X}${\displaystyle {\tilde {i}}\colon {\tilde {Z}}\rightarrow X} zwei Differenzkerne von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} und ${\displaystyle g}${\displaystyle g}, so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus ${\displaystyle c\colon {\tilde {Z}}\rightarrow Z}${\displaystyle c\colon {\tilde {Z}}\rightarrow Z} mit ${\displaystyle {\tilde {i}}=i\circ c}${\displaystyle {\tilde {i}}=i\circ c} gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit ${\displaystyle \mathrm {ker} (f,g)}${\displaystyle \mathrm {ker} (f,g)} bezeichnet.
• In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt ${\displaystyle Z}${\displaystyle Z} den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
• Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y}${\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y} einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Mod haben offenbar Differenzkerne. Die Unterkategorie Set₂ der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne.^[3]
• Differenzkerne sind Monomorphismen.^[4] Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man regulär.
• Differenzkerne sind spezielle Limites, nämlich die von Funktoren ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}} (auch ${\displaystyle {\mathcal {I}}}${\displaystyle {\mathcal {I}}}-förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {I}}}${\displaystyle {\mathcal {I}}} aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

Ein Differenzkern zweier Morphismen ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}${\displaystyle f,g\colon X\to Y} in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt ${\displaystyle i\colon \ker(f,g)\to X}${\displaystyle i\colon \ker(f,g)\to X} von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} beschrieben werden:

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\cong \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\cong \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}

wobei

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)\colon \operatorname {Hom} (T,X)\to \operatorname {Hom} (T,Y)}${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)\colon \operatorname {Hom} (T,X)\to \operatorname {Hom} (T,Y)}

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)(t):=ft}${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,f)(t):=ft}

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in ${\displaystyle T}${\displaystyle T} sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

${\displaystyle \varphi _{T}\colon \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\to \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}${\displaystyle \varphi _{T}\colon \operatorname {Hom} (T,\ker(f,g))\to \ker(\operatorname {Hom} (T,f),\operatorname {Hom} (T,g))}

dann gilt für alle ${\displaystyle a\colon T_{0}\to T}${\displaystyle a\colon T_{0}\to T} und alle ${\displaystyle t}${\displaystyle t} für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

${\displaystyle \varphi _{T_{0}}(ta)=\varphi _{T}(t)a}${\displaystyle \varphi _{T_{0}}(ta)=\varphi _{T}(t)a}

• Differenzkokern

1. ↑ B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne
2. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2
3. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 16.9
4. ↑ Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 16.4

• Kategorientheorie