Pushout

Das Pushout (auch Kofaserprodukt, kokartesisches Quadrat, Fasersumme, amalgamierte Summe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um die zum Pullback duale Konstruktion.

Es seien ${\displaystyle \alpha _{1}:X\rightarrow X_{1}}${\displaystyle \alpha _{1}:X\rightarrow X_{1}} und ${\displaystyle \alpha _{2}:X\rightarrow X_{2}}${\displaystyle \alpha _{2}:X\rightarrow X_{2}} zwei Homomorphismen zwischen Moduln über einem Ring ${\displaystyle R}${\displaystyle R}. Setzt man ${\displaystyle Q:=\{(\alpha _{1}(x),\alpha _{2}(x)):,円x\in X\}\subset X_{1}\oplus X_{2}}${\displaystyle Q:=\{(\alpha _{1}(x),\alpha _{2}(x)):,円x\in X\}\subset X_{1}\oplus X_{2}}, so ist das Pushout von ${\displaystyle \alpha _{1}}${\displaystyle \alpha _{1}} und ${\displaystyle \alpha _{2}}${\displaystyle \alpha _{2}} definiert als

${\displaystyle P:=(X_{1}\oplus X_{2})/Q}${\displaystyle P:=(X_{1}\oplus X_{2})/Q} mit den Homomorphismen

${\displaystyle \varphi _{1}:X_{1}\rightarrow P,,円\varphi _{1}(x_{1}):=(x_{1},0)+Q}${\displaystyle \varphi _{1}:X_{1}\rightarrow P,,円\varphi _{1}(x_{1}):=(x_{1},0)+Q} und

${\displaystyle \varphi _{2}:X_{2}\rightarrow P,,円\varphi _{2}(x_{2}):=(0,-x_{2})+Q}${\displaystyle \varphi _{2}:X_{2}\rightarrow P,,円\varphi _{2}(x_{2}):=(0,-x_{2})+Q}

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \varphi _{1}\circ \alpha _{1}=\varphi _{2}\circ \alpha _{2}}${\displaystyle \varphi _{1}\circ \alpha _{1}=\varphi _{2}\circ \alpha _{2}} und dass ${\displaystyle P,\varphi _{1},\varphi _{2}}${\displaystyle P,\varphi _{1},\varphi _{2}} die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} irgendein ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Modul mit Homomorphismen ${\displaystyle \psi _{1}:X_{1}\rightarrow Y}${\displaystyle \psi _{1}:X_{1}\rightarrow Y} und ${\displaystyle \psi _{2}:X_{2}\rightarrow Y}${\displaystyle \psi _{2}:X_{2}\rightarrow Y}, so dass ${\displaystyle \psi _{1}\circ \alpha _{1}=\psi _{2}\circ \alpha _{2}}${\displaystyle \psi _{1}\circ \alpha _{1}=\psi _{2}\circ \alpha _{2}}, so gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle \rho :P\rightarrow Y}${\displaystyle \rho :P\rightarrow Y} mit ${\displaystyle \psi _{1}=\rho \circ \varphi _{1}}${\displaystyle \psi _{1}=\rho \circ \varphi _{1}} und ${\displaystyle \psi _{2}=\rho \circ \varphi _{2}}${\displaystyle \psi _{2}=\rho \circ \varphi _{2}}.^[1]

Durch obiges Beispiel motiviert, definiert man das Pushout in beliebigen Kategorien wie folgt.^[2]

Es seien ${\displaystyle \alpha _{1}:X\rightarrow X_{1}}${\displaystyle \alpha _{1}:X\rightarrow X_{1}} und ${\displaystyle \alpha _{2}:X\rightarrow X_{2}}${\displaystyle \alpha _{2}:X\rightarrow X_{2}} zwei Morphismen einer Kategorie. Ein Paar ${\displaystyle (\varphi _{1},\varphi _{2})}${\displaystyle (\varphi _{1},\varphi _{2})} von Morphismen ${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\rightarrow P}${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\rightarrow P} dieser Kategorie heißt Pushout von ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}, falls gilt:

• ${\displaystyle \varphi _{1}\circ \alpha _{1}=\varphi _{2}\circ \alpha _{2}}${\displaystyle \varphi _{1}\circ \alpha _{1}=\varphi _{2}\circ \alpha _{2}}
• Ist ${\displaystyle (\psi _{1},\psi _{2})}${\displaystyle (\psi _{1},\psi _{2})} ein Paar von Morphismen ${\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\rightarrow Y}${\displaystyle \psi _{i}:X_{i}\rightarrow Y} mit ${\displaystyle \psi _{1}\circ \alpha _{1}=\psi _{2}\circ \alpha _{2}}${\displaystyle \psi _{1}\circ \alpha _{1}=\psi _{2}\circ \alpha _{2}}, so gibt es genau einen Morphismus ${\displaystyle \rho :P\rightarrow Y}${\displaystyle \rho :P\rightarrow Y} mit ${\displaystyle \psi _{1}=\rho \circ \varphi _{1}}${\displaystyle \psi _{1}=\rho \circ \varphi _{1}} und ${\displaystyle \psi _{2}=\rho \circ \varphi _{2}}${\displaystyle \psi _{2}=\rho \circ \varphi _{2}}.

Manchmal nennt man nur das Objekt ${\displaystyle P}${\displaystyle P} ein Pushout und meint damit, dass es Morphismen ${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\rightarrow P}${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\rightarrow P} gibt, die obiger Definition genügen. Auch das Diagramm

wird bisweilen als Pushout bezeichnet. Es gibt die zum Pullback analoge Schreibweise ${\displaystyle P=X_{1}\sqcup _{X}X_{2}}${\displaystyle P=X_{1}\sqcup _{X}X_{2}}.

• Jedes Pullback in einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {K}}}${\displaystyle {\mathcal {K}}} ist ein Pushout in der dualen Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{op}}${\displaystyle {\mathcal {K}}^{op}}, denn offenbar ist das Pushout genau das zum Pullback duale Konzept.
• In einer abelschen Kategorie ist das Pushout zu

gleich dem Kokern von ${\displaystyle \alpha _{1}}${\displaystyle \alpha _{1}}.

• Ist mit obigen Bezeichnungen ${\displaystyle X}${\displaystyle X} das Nullobjekt einer additiven Kategorie, so ist das Pushout gleich der direkten Summe ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}}${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}}.
• Das einleitende Beispiel zeigt, dass es in der Kategorie der ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Moduln stets Pushouts gibt.
• In der Kategorie der Gruppen existiert stets ein Pushout. Mit obigen Bezeichnungen ist dieses gleich dem freien Produkt ${\displaystyle X_{1}*X_{2}}${\displaystyle X_{1}*X_{2}} modulo dem von ${\displaystyle \{\alpha _{1}(x)\alpha _{2}(x)^{-1}:,円x\in X\}}${\displaystyle \{\alpha _{1}(x)\alpha _{2}(x)^{-1}:,円x\in X\}} erzeugten Normalteiler ${\displaystyle N}${\displaystyle N} mit den natürlichen Abbildungen ${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\rightarrow X_{1}*X_{2}\rightarrow X_{1}*X_{2}/N}${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\rightarrow X_{1}*X_{2}\rightarrow X_{1}*X_{2}/N}^[3] Diese Konstruktion tritt beim Satz von Seifert-van Kampen auf.
• In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist das Pushout mit obigen Bezeichnungen gleich dem Tensorprodukt ${\displaystyle X_{1}\otimes _{X}X_{2}}${\displaystyle X_{1}\otimes _{X}X_{2}} versehen mit der Eins ${\displaystyle 1\otimes 1}${\displaystyle 1\otimes 1} und der durch ${\displaystyle (a\otimes b)\cdot (c\otimes d):=(a\cdot c)\otimes (b\cdot d)}${\displaystyle (a\otimes b)\cdot (c\otimes d):=(a\cdot c)\otimes (b\cdot d)} bestimmten Multiplikation.
• In der Kategorie der Mengen ist das Pushout ${\displaystyle (X_{1}\sqcup X_{2})/{\sim }}${\displaystyle (X_{1}\sqcup X_{2})/{\sim }}, wobei ${\displaystyle \sim }${\displaystyle \sim } die von ${\displaystyle \{(\alpha _{1}(x),\alpha _{2}(x)):x\in X\}}${\displaystyle \{(\alpha _{1}(x),\alpha _{2}(x)):x\in X\}} erzeugte Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung ${\displaystyle X:=X_{1}\sqcup X_{2}}${\displaystyle X:=X_{1}\sqcup X_{2}} ist.
• Ähnlich lassen sich Pushouts von topologischen Räumen beschreiben. Diese spielen bei Verklebekonstruktionen eine Rolle.

1. ↑ Louis D. Tarmin: Lineare Algebra, Moduln 2, Buch X Verlag (April 2008), ISBN 3-934671-51-9, Satz 4.158.3
2. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Definition 4.1
3. ↑ Joseph J. Rotman: An Introduction to the Theory of Groups. Springer, Graduate Texts in Mathematics, 1995, ISBN 0-387-94285-8, Theorem 11.58

• Kategorientheorie