Injektive Auflösung

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine injektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus injektiven Objekten, die mit einem gegebenen Objekt beginnt.

Formal sei ${\displaystyle C}${\displaystyle C} eine abelsche Kategorie und ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ein Objekt aus ${\displaystyle C}${\displaystyle C}. Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow I_{0}\rightarrow I_{1}\rightarrow I_{2}\rightarrow \cdots }${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow I_{0}\rightarrow I_{1}\rightarrow I_{2}\rightarrow \cdots }

injektive Auflösung von ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, wenn sämtliche ${\displaystyle I_{i}}${\displaystyle I_{i}} injektiv sind.^[1]

Ist in der abelschen Kategorie ${\displaystyle C}${\displaystyle C} jedes Objekt Unterobjekt eines injektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} (C)}${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} (C)} einen Monomorphismus ${\displaystyle X\rightarrow I}${\displaystyle X\rightarrow I}, wobei ${\displaystyle I}${\displaystyle I} injektiv ist, so sagt man auch, ${\displaystyle C}${\displaystyle C} besitze genügend viele injektive Objekte. Ein wichtiges Beispiel solcher Kategorien ist die Kategorie der Links-Moduln über einem Ring.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt ${\displaystyle A}${\displaystyle A} eine injektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Monomorphismus ${\displaystyle i_{0}:A\rightarrow I_{0}}${\displaystyle i_{0}:A\rightarrow I_{0}}, dann weiter ein Monomorphismus ${\displaystyle i_{1}:\operatorname {coker} (i_{0})\rightarrow I_{1}}${\displaystyle i_{1}:\operatorname {coker} (i_{0})\rightarrow I_{1}} und dann per Induktion jeweils weiter ${\displaystyle i_{n+1}:\operatorname {coker} (i_{n})\rightarrow I_{n+1}}${\displaystyle i_{n+1}:\operatorname {coker} (i_{n})\rightarrow I_{n+1}}.

Ist

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow I_{0}\rightarrow I_{1}\rightarrow I_{2}\rightarrow \cdots }${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow I_{0}\rightarrow I_{1}\rightarrow I_{2}\rightarrow \cdots }

eine injektive Auflösung und

${\displaystyle 0\rightarrow A'\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{2}\rightarrow \cdots }${\displaystyle 0\rightarrow A'\rightarrow A'_{0}\rightarrow A'_{1}\rightarrow A'_{2}\rightarrow \cdots }

eine exakte Sequenz, so lässt sich jeder ${\displaystyle C}${\displaystyle C}-Homomorphismus ${\displaystyle f:A'\rightarrow A}${\displaystyle f:A'\rightarrow A} (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}0\rightarrow &A'&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{2}&\rightarrow \cdots \\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\cdots \0円\rightarrow &A&\rightarrow &I_{0}&\rightarrow &I_{1}&\rightarrow &I_{2}&\rightarrow \cdots \\\end{matrix}}}${\displaystyle {\begin{matrix}0\rightarrow &A'&\rightarrow &A'_{0}&\rightarrow &A'_{1}&\rightarrow &A'_{2}&\rightarrow \cdots \\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\cdots \0円\rightarrow &A&\rightarrow &I_{0}&\rightarrow &I_{1}&\rightarrow &I_{2}&\rightarrow \cdots \\\end{matrix}}}

ergänzen. Eine wichtige Folgerung aus dieser Eigenschaft ist, dass je zwei injektive Auflösungen eines Objektes vom selben Homotopietyp sind.^[2]

• Der duale Begriff ist der der projektiven Auflösung.
• Eine Anwendung finden injektive Auflösungen in der Berechnung abgeleiteter Funktoren.

1. ↑ P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0-8218-1657-8, Definition 2.6
2. ↑ Peter Hilton, Urs Stammbach: A course in homological algebra, 1. Auflage 1970, ISBN 3-540-90032-2, Kapitel IV, Theorem 4.4 und Satz 4.5

• Homologische Algebra
• Kategorientheorie