Gruppenobjekt

Ein Gruppenobjekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs der Gruppe. Ein typisches Beispiel für ein Gruppenobjekt ist eine topologische Gruppe.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} eine Kategorie mit endlichen Produkten. Wir bezeichnen das Finalobjekt mit ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1}. Ein Gruppenobjekt in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} ist ein Objekt ${\displaystyle G}${\displaystyle G} von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} zusammen mit drei Morphismen

• ${\displaystyle m\colon G\times G\to G}${\displaystyle m\colon G\times G\to G}, Multiplikation
• ${\displaystyle e\colon 1\to G}${\displaystyle e\colon 1\to G}, Inklusion des neutralen Elements
• ${\displaystyle i\colon G\to G}${\displaystyle i\colon G\to G}, Inversion

sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle m}${\displaystyle m} ist assoziativ, das heißt ${\displaystyle m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})=m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)}${\displaystyle m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})=m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)} als Morphismen ${\displaystyle G\times G\times G\to G}${\displaystyle G\times G\times G\to G}.
• ${\displaystyle e}${\displaystyle e} ist ein zweiseitiges neutrales Element für ${\displaystyle m}${\displaystyle m}, das heißt ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=p_{1}}${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=p_{1}} und ${\displaystyle m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})=p_{2}}${\displaystyle m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})=p_{2}}, wobei ${\displaystyle p_{1}\colon G\times G\to G}${\displaystyle p_{1}\colon G\times G\to G} (bzw. ${\displaystyle p_{2}}${\displaystyle p_{2}}) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist.
• ${\displaystyle i}${\displaystyle i} ist ein zweiseitiges inverses Element für ${\displaystyle m}${\displaystyle m}, das heißt ${\displaystyle m\circ (i\times \mathrm {id} _{G})\circ \Delta _{G}=e}${\displaystyle m\circ (i\times \mathrm {id} _{G})\circ \Delta _{G}=e} und ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times i)\circ \Delta _{G}=e}${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times i)\circ \Delta _{G}=e}. Hier bezeichnet ${\displaystyle \Delta _{G}\colon G\to G\times G}${\displaystyle \Delta _{G}\colon G\to G\times G} die Diagonale.

Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden. Ein Morphismus von Gruppenobjekten ${\displaystyle (G,m,e,i)\to (G',m',e',i')}${\displaystyle (G,m,e,i)\to (G',m',e',i')} ist ein Morphismus ${\displaystyle f\colon G\to G'}${\displaystyle f\colon G\to G'}, der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt ${\displaystyle f\circ m=m'\circ (f\times f)}${\displaystyle f\circ m=m'\circ (f\times f)}, ${\displaystyle f\circ i=i'\circ f}${\displaystyle f\circ i=i'\circ f} und ${\displaystyle f\circ e=e'}${\displaystyle f\circ e=e'}. Die Klasse der Gruppenobjekte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} bildet zusammen mit Morphismen von Gruppenobjekten wieder eine Kategorie, die wir für den Rest des Artikels mit ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}({\mathcal {C}})}${\displaystyle {\mathsf {Grp}}({\mathcal {C}})} bezeichnen.

Alternativ kann ein Gruppenobjekt als darstellbarer Funktor ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Grp} }${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Grp} } in die Kategorie der Gruppen ${\displaystyle \mathbf {Grp} }${\displaystyle \mathbf {Grp} } beschrieben werden. Nach dem Yoneda-Lemma sind beide Definitionen äquivalent.

Ein Gruppenobjekt ist kommutativ, wenn ${\displaystyle m\circ \tau =m}${\displaystyle m\circ \tau =m} gilt. Hierbei ist ${\displaystyle \tau \colon G\times G\to G\times G}${\displaystyle \tau \colon G\times G\to G\times G} die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von ${\displaystyle p_{2}}${\displaystyle p_{2}} und ${\displaystyle p_{1}}${\displaystyle p_{1}} induziert.

• Jede Gruppe kann als Gruppenobjekt in der Kategorie der Mengen ${\displaystyle \mathbf {Set} }${\displaystyle \mathbf {Set} } aufgefasst werden. Umgekehrt definiert jedes Gruppenobjekt in ${\displaystyle \mathbf {Set} }${\displaystyle \mathbf {Set} } eine Gruppe. Die Kategorien ${\displaystyle \mathbf {Grp} }${\displaystyle \mathbf {Grp} } und ${\displaystyle {\mathsf {Grp}}(\mathbf {Set} )}${\displaystyle {\mathsf {Grp}}(\mathbf {Set} )} sind also äquivalent.
• Auf ähnliche Weise ist jede topologische Gruppe ein Gruppenobjekt in der Kategorie der topologischen Räume.
• Eine abelsche Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Gruppen. Die Strukturmorphismen eines Gruppenobjektes in der Kategorie der Gruppen stimmen nach dem Eckmann-Hilton-Argument mit der ursprünglichen Gruppenstruktur überein.
• Eine Lie-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten.
• Eine Lie-Supergruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Supermannigfaltigkeiten.
• Eine H-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Homotopiekategorie topologischer Räume ${\displaystyle \mathbf {hTop} }${\displaystyle \mathbf {hTop} }.
• Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten.
• Ein Gruppenschema ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Schemata. Elliptische Kurven und allgemeiner abelsche Varietäten können als Gruppenschemata aufgefasst werden.
• Eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum oder einem Situs ist ein abelsches Gruppenobjekt in der Kategorie der Garben.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}${\displaystyle {\mathcal {A}}} eine abelsche Kategorie, so ist jedes Objekt auf eindeutige Weise ein kommutatives Gruppenobjekt.
• Eine strikte 2-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der kleinen Kategorien.

Analog kann man in einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} mit endlichen Koprodukten sogenannte Kogruppenobjekte definieren. Wir sprechen von Komultiplikation, koneutralem Element und Koinversion. Die Kogruppenobjekte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}${\displaystyle {\mathcal {C}}} sind gerade die Gruppenobjekte von ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}. Wir können Kogruppenobjekte auch als darstellbare Funktoren ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Grp} }${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathbf {Grp} } auffassen. Die Kogruppenobjekte bilden eine Kategorie ${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}({\mathcal {C}})}${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}({\mathcal {C}})}. Ein Kogruppenobjekt ist kokommutativ, wenn es als Gruppenobjekt von ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }} kommutativ ist.

Beispiele für Kogruppenobjekte sind:

• Die Kategorie ${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}(\mathbf {Set} )}${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}(\mathbf {Set} )} enthält nur die leere Kogruppe ${\displaystyle \emptyset }${\displaystyle \emptyset } als Objekt. Genauso enthält ${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}(\mathbf {Top} )}${\displaystyle {\mathsf {CoGrp}}(\mathbf {Top} )} nur die leere Kogruppe.
• Eine kommutative Hopf-Algebra ist ein Kogruppenobjekt in der Kategorie der kommutativen Ringe. Die Kategorie der kommutativen Hopf-Algebren ist anti-äquivalent zur Kategorie der affinen Gruppenschemata.^[1]
• Eine H-Kogruppe ist ein Kogruppenobjekt in der Homotopiekategorie punktierter topologischer Räume ${\displaystyle \mathbf {hTop} _{*}}${\displaystyle \mathbf {hTop} _{*}}.
• In einer abelschen Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {A}}}${\displaystyle {\mathcal {A}}} besitzt jedes Objekt eine eindeutige kokommutative Kogruppenstruktur. Die Komultiplikation ist durch die Diagonale gegeben.^[2]

Ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}}${\displaystyle {\mathcal {E}}} ein Topos, so ist ein Modell der Theorie der Gruppen über ${\displaystyle {\mathcal {E}}}${\displaystyle {\mathcal {E}}} gerade ein Gruppenobjekt in ${\displaystyle {\mathcal {E}}}${\displaystyle {\mathcal {E}}}. In diesem Zusammenhang können auch Torsore über Gruppenobjekten definiert werden.^[3]

• Martin Brandenburg: Einführung in die Kategorientheorie. 2017.  §8.2 „Gruppenobjekte"
• Saunders MacLane: Categories for the Working Mathematician. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1997.  §III.6 „Groups in categories"

1. ↑ Group object in nLab
2. ↑ Cogroup in nLab
3. ↑ Torsor in nLab

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