Exakter Funktor

Exakter Funktor ist ein mathematischer Begriff aus der Kategorientheorie.

Ein additiver, kovarianter Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}}${\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}} heißt

• halbexakt, falls ${\displaystyle FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''}${\displaystyle FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''} exakt ist
• linksexakt, falls ${\displaystyle 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''}${\displaystyle 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''} exakt ist
• rechtsexakt, falls ${\displaystyle FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0}${\displaystyle FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0} exakt ist
• exakt, falls ${\displaystyle 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0}${\displaystyle 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0} exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen ${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow A'\rightarrow A''\rightarrow 0}${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow A'\rightarrow A''\rightarrow 0} in ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}${\displaystyle {\mathfrak {C}}}.^{[1] [2]}

Ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}}${\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}} heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor ${\displaystyle {\mathfrak {C}}^{op}\rightarrow {\mathfrak {D}}}${\displaystyle {\mathfrak {C}}^{op}\rightarrow {\mathfrak {D}}} ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.^[3]

• Die Hom-Funktoren ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)}${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)} und ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,B)}${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,B)} sind linksexakt.
• Die Tensorprodukt-Funktoren ${\displaystyle (A\otimes -)}${\displaystyle (A\otimes -)} und ${\displaystyle (-\otimes B)}${\displaystyle (-\otimes B)} sind rechtsexakt.
• Der Funktor „globale Schnitte" auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.
• Für eine endliche Gruppe ${\displaystyle G}${\displaystyle G} ist der Funktor „G-Invarianten" von der Kategorie der ${\displaystyle G}${\displaystyle G}-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.
• Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.
• Für eine beliebige natürliche Zahl ${\displaystyle n>1}${\displaystyle n>1} ist der Funktor

${\displaystyle {\mathfrak {Ab}}\to {\mathfrak {Ab}},\quad M\mapsto nM}${\displaystyle {\mathfrak {Ab}}\to {\mathfrak {Ab}},\quad M\mapsto nM}

auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

1. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.
2. ↑ Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2 , Kapitel III, Definition 32.
3. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.

• Kategorientheorie