몬티 홀 문제

"친구, 내가 너한테 선물 하나 하고 싶은데 그냥 주면 잼이 없으니까 게임을 하지. 저기 문 세 개가 있지? 그 중 하나의 문 뒤에는 고급 승용차가 있고 나머지 문 뒤에는 염소가 있어. 문 하나를 선택하면 그 뒤에 있는 것을 선물로 줄게. 네가 하나의 문을 고르면, 내가 염소가 있는 문들 중에 하나의 문을 열어 보여줄게. 그 후에 원래의 선택을 지속하든지, 아니면 선택을 바꿔도 돼"

— 몬티 홀, 친구를 조롱하며

몬티 홀 문제(영어: Monty Hall Problem, 독일어: Ziegenproblem, 불어: Problème de Monty Hall, 스페인어: Problema de Monty Hall, 이탈리아어: Problema di Monty Hall, 왜말: モンティ・ホール問題, 듕귁어: 蒙提霍爾問題)는 몬티 홀이라는 이름의 부자의 친구가 선물을 달라는데 주기 싫어서 만들어낸 문제이다.즉 사기성이 짙다.

유래[편집 ]

몬티 홀(영어: Monty Hall)이라는 부자가 있었다. 그는 매우 인색한 성격이라서 남들에게 선물은커녕 먼지 하나조차도 나누어주려 하지 않는 사람이었다. ↑ 국적이 다를지도 모르지만 알 게 뭐야.그런 그에게는 어렸을 때부터 소꿉친구였던 너이(가) 있었다.^? 너은(는) 몬티 홀의 인색한 성격을 아주 잘 알았지만 자기 소득으로는 자동차를 살 수 없었기에 어쩔 수 없이 그에게 자동차 한 대만 선물해 달라고 부탁했다. 의외로 몬티 홀은 그 부탁을 쉽게 받아들였다. 하지만 역시 짠돌이였던 몬티 홀은 조건을 붙였다. 그 조건은 다음과 같다.

"고급 자동차가 있는 문 하나와 염소가 있는 문 두 개 중 하나를 골라. 그러면 내가 그 문 뒤에 있는 것을 선물로 줄게."

— 몬티 홀, 자동차를 주기 싫어서

내용[편집 ]

몬티 홀 문제는 다음과 같다. 문이 세 개 있고 한 문에는 고급 자동차, 나머지 두 문에는 염소가 있다고 하고, 사회자는 염소가 있는 문 하나를 보여주었다. 이때 너는 처음에 선택한 문을 바꾸는 것이 유리한가 아니면 바꾸지 않는 것이 유리한가에 대한 문제이다.

해답[편집 ]

일단 각각의 문이 1, 2, 3이고 자동차가 1번 문에 있다고 가정하자.

처음에 1을 선택한 경우[편집 ]

사회자는 2번이나 3번 문 중 하나를 보여주게 될 것이다. 너은(는) 사회자가 보여준 문에 염소가 있다는 것을 알았으므로 1을 유지하거나 사회자가 보여주지 않은 문으로 바꿀 것이다. 이때 너이(가) 문을 바꿀 확률은 [math]\displaystyle{ \frac {1}{2} }[/math]이다.

처음에 2를 선택한 경우[편집 ]

사회자는 3번 문을 보여줄 것이다. 너은(는) 사회자가 보여준 문에 염소가 있다는 것을 알았으므로 2를 유지하거나 1로 바꿀 것이다. 이때 너이(가) 문을 바꿀 확률은 [math]\displaystyle{ \frac {1}{2} }[/math]이다.

처음에 3을 선택한 경우[편집 ]

사회자는 2번 문을 보여줄 것이다. 너은(는) 사회자가 보여준 문에 염소가 있다는 것을 알았으므로 3을 유지하거나 1로 바꿀 것이다. 이때도 너이(가) 문을 바꿀 확률은 [math]\displaystyle{ \frac {1}{2} }[/math]이다.

결론[편집 ]

자동차는 1에 있으므로 처음에 1을 선택한 경우에는 바꾸면 자동차를 얻을 수 없고 처음에 2 또는 3을 선택했을 경우에는 바꾸면 자동차를 얻을 수 있다. 자동차가 2 또는 3에 있을 때도 같은 방식으로 구해 보면 선택을 바꾸는 것이 자동차를 얻기에 더 유리하다는 것을 알 수 있다.

수학적 증명[편집 ]

[math]\displaystyle{ ,円 x }[/math]를 자동차가 있는 문의 번호, [math]\displaystyle{ ,円 y }[/math]를 너이(가) 처음 고른 문의 번호, 사회자가 연 문의 번호를 [math]\displaystyle{ ,円 m }[/math]이라고 하자. 너이(가) 2번 문을 골랐을 때 사회자가 3번 문을 열었다고 가정하자. 선택을 바꾸었을 경우, 1번 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 조건부 확률을 이용하여 계산할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ P(x=1|y=2, m=3) }[/math]은 1번 문에 자동차가 있을 때 너이(가) 2번 문을 골랐고 사회자가 3번 문을 열었을 확률이다.
• [math]\displaystyle{ P(m=3|x=1, y=2) }[/math]은 사회자가 3번 문을 열었을 때 너이(가) 2번 문을 골랐고 1번 문에 자동차가 있을 확률이며 이 확률은 가정이므로 [math]\displaystyle{ P(m=3|x=1, y=2)=1 }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ P(x=1|y=2) }[/math]은 1번 문에 자동차가 있을 때 너이(가) 2번 문을 골랐을 확률이다. 자동차가 어떤 문에 있든 너은(는) 아무 문이나 고를 수 있으므로 [math]\displaystyle{ P(x=1|y=2)=\frac {1}{3} }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ P(m=3|y=2) }[/math]은 사회자가 3번 문을 열었을 때 너이(가) 2번 문을 골랐을 확률로, 일단 사회자는 세 문 중 하나를 열기 때문에 기본적으로 [math]\displaystyle{ \frac {1}{3} }[/math]이 들어간다.
  • 너이(가) 1번 문을 선택한 경우 염소는 2, 3번 문에 있으므로 3번 문을 여는 경우의 수는 [math]\displaystyle{ \frac {1}{2} \cdot \frac {1}{3} = \frac {1}{6} }[/math]이다.
  • 너이(가) 2번 문을 선택한 경우 사회자는 염소가 있는 3번 문을 열게 될 것이다. 이때의 확률은 세 문 중 하나를 여는 것이므로 당연히 [math]\displaystyle{ \frac {1}{3} }[/math]이다.
  • 너이(가) 3번 문을 선택했을 경우에 사회자는 염소가 있는 2번 문을 열 것이므로 사회자가 3번 문을 열 확률은 0이다.
• 결과적으로 [math]\displaystyle{ P(m=3|y=2) = \frac {1}{2} }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ P(x=1|y=2, m=3)=\frac{P(m=3|x=1, y=2)P(x=1|y=2)}{P(m=3|y=2)} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1 \times \frac{1}{3}}{\frac {1}{2} \times \frac {1}{3} + 1\times\frac {1}{3} + 0 \times \frac {1}{3}} = \frac {2}{3} }[/math]

그림을 통한 이해[편집 ]

위의 해설과 수식이 너무 어려워서 Diemath.jpg라면 아래 그림을 참조하라.

간단한 풀이[편집 ]

• 너이(가) 염소가 있는 문을 골랐을 경우 사회자가 염소가 있는 문을 보여주고 선택을 바꾸면 차를 얻게 된다.
• 너이(가) 자동차가 있는 문을 골랐을 경우 사회자가 염소가 있는 문을 보여주고 선택을 바꾸면 염소를 얻게 된다.

결론적으로 선택을 바꿔서 자동차를 얻을 수 있는 확률은 너이(가) 염소가 있는 문을 선택할 확률. 즉, [math]\displaystyle{ \frac {2}{3} }[/math]이며, 선택을 바꿔서 염소를 얻을 확률은 [math]\displaystyle{ \frac {1}{3} }[/math]이다.

결론[편집 ]

• 몬티 홀은 짠돌이다.
• 짠돌이하고는 친구하지 말자.
• 몬티 홀은 염소를 두 마리 가지고 있다.

너가 고급 외제차보다 염소가 좋은가?

도보시오[편집 ]

• 확률
• 조건부 확률
• 유식
• 코끼리를 냉장고에 집어넣는 법
• 달팽이가 세계 일주하는 데 걸리는 시간

• 과학적인 사실을 다루고 있는 문서
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• 짜증나는 과학적 문제