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双八元数

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数学における双八元数(そうはちげんすう、英: bi­octonion)または複素­八元数(ふくそはちげんすう、英: complex octonion)は、双四元数 (英語版) p, q の対 (p, q) として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) p ↦ p* を用いて ( p , q ) ( r , s ) := ( p r − s ∗ q ,   s p + q r ∗ ) {\displaystyle (p,q)(r,s):=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*})} {\displaystyle (p,q)(r,s):=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*})} と定義される。

  • 双八元数 z ≔ (p, q) の共軛は z* ≔ (p*, −q) とする。
  • 双八元数 z のノルムは N(z) ≔ zz* (= pp* + qq*) と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式(エルミート二次形式)である。

双八元数全体の成す多元環(双八元数代数、双八元数環)は、単純に実係数の八元数体の複素化 (英語版)として導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式 z2 の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。

双八元数の任意の対 y, z に対して N ( y z ) = N ( y ) N ( z ) {\displaystyle N(yz)=N(y)N(z)} {\displaystyle N(yz)=N(y)N(z)} が成り立つから、これにより N は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。

複素八元数はクォークやレプトンの世代を記述するのに用いられた[1] 。

脚注

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参考文献

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可算な体系
合成代数
通常型
  • 実数 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {R} })
  • 複素数 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {C} })
  • 四元数 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } {\displaystyle \mathbb {H} })
  • 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } {\displaystyle \mathbb {O} })
分解型
/ R {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle \mathbb {R} }
/ C {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {C} }
その他の多元数
その他

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