ウィルコクソンの符号順位検定

ウィルコクソンの符号順位検定(ふごうじゅんいけんてい、英: Wilcoxon signed-rank test)は一対の標本によるノンパラメトリック 検定法である。対応のあるt検定に対応し、対応のあるt検定で必要とされる仮定が満たされない場合に用いる。ウィルコクソン(Frank Wilcoxon、1892-1965)によって「ウィルコクソンの順位和検定」(マン・ホイットニーのU検定に同じ)とともに開発された。

全2n 回の観察で、n 個の対象に対し各2回の観察を行うとする。iで各対象を表し、iに対する1回目の測定値を ${\displaystyle x_{i}}${\displaystyle x_{i}} 、2回目の測定値を ${\displaystyle y_{i}}${\displaystyle y_{i}} とする。

次のように仮定する。

1. ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}${\displaystyle i=1,\ldots ,n}に対し ${\displaystyle Z_{i}=Y_{i}-X_{i}}${\displaystyle Z_{i}=Y_{i}-X_{i}} とする。各差 ${\displaystyle Z_{i}}${\displaystyle Z_{i}} は互いに独立とする。
2. 各${\displaystyle Z_{i}}${\displaystyle Z_{i}} は連続的母集団(同じでなくてよい)に由来し、共通の中央値 ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta } に関して対称とする。

帰無仮説 ${\displaystyle H_{0}}${\displaystyle H_{0}} を${\displaystyle \theta =0}${\displaystyle \theta =0} とする。絶対値${\displaystyle |Z_{1}|,\ldots ,|Z_{n}|}${\displaystyle |Z_{1}|,\ldots ,|Z_{n}|} を順番に並べ、各${\displaystyle |Z_{i}|}${\displaystyle |Z_{i}|} の順位を${\displaystyle R_{i}}${\displaystyle R_{i}} として、これからウィルコクソンの符号順位統計量${\displaystyle W^{+}}${\displaystyle W^{+}} を計算する。${\displaystyle \phi _{i}=I(Z_{i}>0)}${\displaystyle \phi _{i}=I(Z_{i}>0)} (ただし${\displaystyle I(.)}${\displaystyle I(.)} は指示関数、すなわち${\displaystyle Z_{i}>0}${\displaystyle Z_{i}>0}のとき ${\displaystyle I(Z_{i})=1}${\displaystyle I(Z_{i})=1}、${\displaystyle Z_{i}=<0}${\displaystyle Z_{i}=<0}のとき ${\displaystyle I(Z_{i})=0}${\displaystyle I(Z_{i})=0})とする。ウィルコクソンの符号順位統計量 ${\displaystyle W^{+}}${\displaystyle W^{+}} を

${\displaystyle W^{+}=\sum _{i=1}^{n}\phi _{i}R_{i}}${\displaystyle W^{+}=\sum _{i=1}^{n}\phi _{i}R_{i}}

により求める。

前後2回データを収集した場合の点数(中心点が0と期待される)の差を検定するのによく用いられる。中心点と完全に一致する点数は除外し、残りの点数の中心点からの偏差の絶対値を順位化し、最小の偏差が順位1となるようにする。タイ(同順位)点数には平均順位を充てる。中心点からの正・負の両偏差ごとに順位の和を計算する。両順位和の小さい方をSとする。そしてSを順位分布の数表と比較してp値(中心点の周りに対称に分布する点数母集団から、その値以上のS値が得られる確率)を求める。

nが多くなるとSの分布は平均${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{4}}}${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{4}}}、分散${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)(2n+1)}{24}}}${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)(2n+1)}{24}}}の正規分布に近づく^[1] ので、10より大きいnに対してはp値を求めるのに正規分布を用いることが多い。

• マン・ホイットニーのU検定

• 統計検定
• ノンパラメトリック統計学
• U統計学
• 数学に関する記事
• 数学のエポニム

• 出典を必要とする記事/2015年9月
• 英語版ウィキペディアからの翻訳を必要とする記事