歪度

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確率論および統計学において、歪度(わいど、skewness)は、分布の非対称性を示す指標である。日本産業規格では、ゆがみ、ひずみ(歪み)を確率密度関数または確率関数 f (x) のグラフが左右対称でないこと、ゆがみの程度を平均値まわりの 3 次モーメント μ₃ と標準偏差 σ の 3 乗との比 μ₃/σ³ と定義している^[1]。

分布の尖り(とがり)具合を示す指標である尖度 ^{[注釈 1]}とともに用いる。歪みをもち、尖度が大きい金融データなどではこれらの指標を頻繁に用いる。

標準化

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確率分布の分布特性を示すためには、通常は期待値および分散が用いられる。さらに、分布型の差を示す指標の一つに 3 次モーメント(3 乗の期待値)と 4 次モーメント(4 乗の期待値)とがある。これらのモーメントは、平均値と分散の影響を除くように標準化される。[平均値は、位置尺度には依存しないが、スケール尺度(たとえば分散)に依存する。]

確率変数 X の期待値が μ、分散が σ² のとき、標準化確率変数 $Z=(X-\mu )/\sigma$ {\displaystyle Z=(X-\mu )/\sigma } は期待値 0、分散 1 となり、平均と分散の影響は除去される。

Z の 3 次モーメント $E(Z^{3}$ {\displaystyle E(Z^{3}}) は歪度 $\beta _{1}^{1/2}$ {\displaystyle \beta _{1}^{1/2}} と呼ばれる。とくに標準正規確率変数の分布に歪みはなく、0 を中心として左右対称であるから歪度は 0 である。歪度の符号によって、正の歪みをもつ分布、負の歪みをもつ分布といわれる。

Z の 4 次モーメント $E(Z^{4})-3$ {\displaystyle E(Z^{4})-3} は尖度 β₂ と呼ばれる。分散が σ² である正規分布ならば、平均値まわりの 4 次モーメント $E(Z^{4})-3$ {\displaystyle E(Z^{4})-3} は $3\sigma ^{4}-3$ {\displaystyle 3\sigma ^{4}-3} であり、標準正規確率変数では $\beta _{2}=0$ {\displaystyle \beta _{2}=0} である。正負を基準にして、 $\beta _{2}>0$ {\displaystyle \beta _{2}>0} の分布は急尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が厚い分布になる。一方、 $\beta _{2}<0$ {\displaystyle \beta _{2}<0} の分布は緩尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が薄い分布になる。

たとえば対数正規分布に従う確率変数の歪度は正であり、尖度は常に 3 より大きい。

推定

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一般に、平均まわりの k 次モーメント $E((X-\mu )^{k})$ {\displaystyle E((X-\mu )^{k})} は、k 次の標本モーメントによって推定することができる。したがって、歪度と尖度は、原系列を標準化すれば 3 次の標本モーメント $b_{1}^{1/2}$ {\displaystyle b_{1}^{1/2}} および 4 次の標本モーメント $b_{2}$ {\displaystyle b_{2}} で推定できる。母分布が正規分布であるか否かを調べるためには、歪度と尖度が標準化された正規確率変数の値 0 と 3 に似るか否かを調べればよい(ジャック–ベラ検定)。ボウマン=シェントン ^[2]は、正規性検定の指標^{[注釈 2]}