随伴表現

リー群のリー環上への随伴表現(ずいはんひょうげん、英: adjoint representation)とは、リー群の元をリー環のある種の線型変換として表したものをいう。

${\displaystyle G}${\displaystyle G} をリー群、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそれに付随するリー代数( ${\displaystyle G}${\displaystyle G} の単位元における接空間)とする。

${\displaystyle g\in G}${\displaystyle g\in G} として ${\displaystyle h\in G}${\displaystyle h\in G} に対して ${\displaystyle \phi _{g}:G\to G,,円\phi _{g}:h\mapsto ghg^{-1}}${\displaystyle \phi _{g}:G\to G,,円\phi _{g}:h\mapsto ghg^{-1}} を ${\displaystyle G}${\displaystyle G} の内部自己同型写像といい、さらに微分 ${\displaystyle d(\phi _{g})_{e}=:Ad_{g}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}${\displaystyle d(\phi _{g})_{e}=:Ad_{g}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} によって付随するリー代数の同型写像が得られる。

${\displaystyle Ad_{g}}${\displaystyle Ad_{g}} は ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} の線型写像になっていて、準同型

${\displaystyle Ad:G\to GL({\mathfrak {g}}),\quad g\mapsto Ad_{g}}${\displaystyle Ad:G\to GL({\mathfrak {g}}),\quad g\mapsto Ad_{g}}

をリー群の随伴表現という。

リー群の随伴表現の微分を ${\displaystyle ad}${\displaystyle ad} で表し、これをリー代数の随伴表現という。

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