リー代数の随伴表現

リー代数の随伴表現(リーだいすうのずいはんひょうげん、英: adjoint representation of a Lie algebra)とは、リー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} の交換子を用いて定義されるリー代数から ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})} への準同型写像のことをいう。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} をリー代数とする。${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} に対し ${\displaystyle ad_{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}${\displaystyle ad_{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} を

${\displaystyle ad_{x}(y)=[x,y]}${\displaystyle ad_{x}(y)=[x,y]}

によって定める。このとき ${\displaystyle ad_{x}}${\displaystyle ad_{x}} は線型変換であり、リー代数からベクトル空間へ準同型

${\displaystyle ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto ad_{x}}${\displaystyle ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto ad_{x}}

をリー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} の随伴表現という。

${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}}${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}} に対して、

${\displaystyle ad_{[x,y]}(z)=[ad_{x},ad_{y}](z)}${\displaystyle ad_{[x,y]}(z)=[ad_{x},ad_{y}](z)}。

リー群 ${\displaystyle G}${\displaystyle G} の単位元における接空間 ${\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}${\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}} を ${\displaystyle G}${\displaystyle G} に付随するリー代数という。 ${\displaystyle G}${\displaystyle G} の随伴表現を ${\displaystyle Ad}${\displaystyle Ad} とすると、

${\displaystyle d(Ad)_{e}=ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}${\displaystyle d(Ad)_{e}=ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}

が成り立つ。

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