等周定理

数学における等周定理(とうしゅうていり)とは、表面積と体積に関する幾何学的不等式である。${\displaystyle n}${\displaystyle n}次元空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の物体 ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}} においてその表面積を ${\displaystyle \mathrm {surf} (S)}${\displaystyle \mathrm {surf} (S)}、体積を ${\displaystyle \mathrm {vol} (S)}${\displaystyle \mathrm {vol} (S)} で表すと、以下の不等式が成り立つ。

${\displaystyle \mathrm {surf} (S)\geq n\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}}${\displaystyle \mathrm {surf} (S)\geq n\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}},

この式の ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}} は単位球である。等号は ${\displaystyle S}${\displaystyle S} が ${\displaystyle n}${\displaystyle n}次元の球体であるときに成り立つ。

${\displaystyle n=2}${\displaystyle n=2}、即ち平面の時には、閉曲線の長さとそれによって囲まれる領域の面積の関係となる^[1] 。周長を L、領域の面積を A とすると以下の式が成り立つ。

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}

等号は領域が円の時のみ成り立つ^[2] 。

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