第2種ベータ分布
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| 母数 |
{\displaystyle \alpha >0} 形状母数 (実数) {\displaystyle \beta >0} 形状母数 (実数) |
|---|---|
| 台 | {\displaystyle x\in (0,\infty )} |
| 確率密度関数 |
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}} {\displaystyle B(a,b)} はベータ関数 |
| 累積分布関数 |
{\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}} {\displaystyle I_{z}(a,b)} は正則化された不完全ベータ関数 |
| 期待値 | {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1} |
| 最頻値 | {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}} |
| 分散 | {\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2} |
| 歪度 | {\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3} |
| モーメント母関数 |
{\displaystyle {\frac {e^{-t}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{,2,0円}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|,円-t\right)} {\displaystyle \Gamma (z)} はガンマ関数 {\displaystyle G_{p,q}^{,円m,n}{\Bigl (}{}_{,円b_{1},\ldots ,b_{q}}^{a_{1},\ldots ,a_{p}},円{\Big |},円z{\Bigr )}} はマイヤーのG関数 (英語版) |
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第2種ベータ分布(だい2しゅベータぶんぷ、英: beta prime distribution, beta distribution of the second kind)とは、第1種ベータ分布に従う確率変数 X に対して、X/1 − X の従う連続確率分布分布のことである。その確率密度関数は以下で与えられる。
- {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}
ここで、α と β は正実数のパラメータであり、確率変数 x のとる値の範囲は正実数全体である。
一般化第2種ベータ分布
[編集 ]ともに正実数の形状パラメータ p とスケールパラメータ q を加えて一般化した、下記の確率密度関数で与えられる分布を一般化第2種ベータ分布(英: generalized beta prime distribution)という。
- {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}
参考文献
[編集 ]- 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
- B. S. Everitt(清水良一訳)、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).
