一様凸空間

数学において一様凸空間(いちようとつくうかん、英: uniformly convex space)あるいは一様円形空間(uniformly rotund space)は、回帰的 バナッハ空間の代表的な例である。一様凸性の概念は、1936年にジェームス・A・クラークソン (英語版)によって初めて導入された。

一様凸空間とは、すべての ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2} に対して、ある ${\displaystyle \delta >0}${\displaystyle \delta >0} が存在し、${\displaystyle \|x\|=1}${\displaystyle \|x\|=1}, ${\displaystyle \|y\|=1}${\displaystyle \|y\|=1} を満たす二つの任意のベクトルに対して

${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }

ならば

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }

が成立するようなノルムベクトル空間のことをいう。直感的に、単位球の内側の線分の中心が、その線分が短すぎない限り、単位球のより内側に存在することをいう。

• ミルマン=ペティスの定理 (英語版)によると、すべての一様凸バナッハ空間は回帰的であるが、その逆は真ではない。
• ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} が一様凸バナッハ空間において ${\displaystyle f}${\displaystyle f} に弱収束する列で ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|}${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|} を満たすなら、${\displaystyle f_{n}}${\displaystyle f_{n}} は ${\displaystyle f}${\displaystyle f} に強収束する: ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0.}${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0.}
• バナッハ空間 ${\displaystyle X}${\displaystyle X} が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 ${\displaystyle X^{*}}${\displaystyle X^{*}} が一様滑らか (英語版)であることである。
• すべての一様凸空間は狭義凸である。

• すべてのヒルベルト空間は一様凸である。
• 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
• ハンナーの不等式 (英語版)によると、L^p 空間(${\displaystyle 1<p<\infty }${\displaystyle 1<p<\infty })は一様凸である。
• ${\displaystyle L^{\infty }}${\displaystyle L^{\infty }} は一様凸ではない。

• 凸度と凸特性数 (英語版)
• 凸函数
• 一様に滑らかな空間 (英語版)

• Clarkson, J. A. (1936). "Uniformly convex spaces". Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 40 (3): 396–414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630  .
• Hanner, O. (1956). "On the uniform convexity of ${\displaystyle L^{p}}${\displaystyle L^{p}} and ${\displaystyle l^{p}}${\displaystyle l^{p}}". Ark. Mat. 3: 239–244. doi:10.1007/BF02589410  .

• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry (Second revised ed.). North-Holland. ISBN 0-444-86416-4  
• Per Enflo (1972). "Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm". Israel Journal of Mathematics 13 (3–4): 281–288. doi:10.1007/BF02762802. 
• Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.

• 凸解析
• バナッハ空間
• 数学に関する記事