ペティス積分

数学の分野におけるペティス積分(ペティスせきぶん、英: Pettis integral)あるいはゲルファント-ペティス積分(イズライル・ゲルファントとビリー・ジェームス・ペティス (英語版)の名にちなむ)とは、双対性を利用することによって、バナッハ空間に値を取るような測度空間上の関数へとルベーグ積分の定義を拡張したものである。測度空間がルベーグ測度を備える区間であるような場合に対して、ゲルファントによって導入された。強積分であるボホナー積分と区別されて、弱積分と呼ばれることもある。

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} を測度空間、${\displaystyle B}${\displaystyle B} をバナッハ空間とし、${\displaystyle f:X\to B}${\displaystyle f:X\to B} および ${\displaystyle E\in \Sigma }${\displaystyle E\in \Sigma } を定める。次を満たすような ${\displaystyle A\in B}${\displaystyle A\in B} が存在するとき、それを ${\displaystyle f}${\displaystyle f} の ${\displaystyle E}${\displaystyle E} についてのペティス積分と呼ぶ:

${\displaystyle \langle v,A\rangle =\int _{E}\langle v,f(t)\rangle ,円d\mu (t)\ \ \forall v\in B'.}${\displaystyle \langle v,A\rangle =\int _{E}\langle v,f(t)\rangle ,円d\mu (t)\ \ \forall v\in B'.}

但し ${\displaystyle B'}${\displaystyle B'} は ${\displaystyle B}${\displaystyle B} の双対空間とする。このような ${\displaystyle A}${\displaystyle A} は次のように表記される:

${\displaystyle A=\int _{E}f(t),円d\mu (t).}${\displaystyle A=\int _{E}f(t),円d\mu (t).}

• ベクトル測度
• 弱可測関数

• J. K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. Fulltext
• I.M. Gel'fand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
• M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)
• Sobolev, V. I. (2001), "Pettis integral", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Pettis_integral  

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