バナッハ=アラオグルの定理

各x ∈ Vに対しK_xをKのコピーとするとき、V^*上の*弱位相は

${\displaystyle \alpha \in V^{*}\mapsto \alpha (x)\in K_{x}}${\displaystyle \alpha \in V^{*}\mapsto \alpha (x)\in K_{x}}

を全て連続になるV^*上の最弱の位相であるので、

${\displaystyle K^{V}:=\prod _{x\in V}K_{x}}${\displaystyle K^{V}:=\prod _{x\in V}K_{x}}

と定義すると、直積位相の定義より、*弱位相は写像

${\displaystyle \mu ~\colon ~V^{*}\to K^{V},~~\alpha \mapsto (\alpha (x))_{x\in V}}${\displaystyle \mu ~\colon ~V^{*}\to K^{V},~~\alpha \mapsto (\alpha (x))_{x\in V}}

を連続にする最弱の位相と一致する。すなわちμは中への同相写像である。したがってV^*の閉単位球B^*のコンパクト性を示すには、μ(B^*)のコンパクト性を示せば良い。

これを示すため、${\displaystyle K^{V}}${\displaystyle K^{V}}はVからKへの(線形とは限らない)写像全体の集合F(V, K)と自然に同一視できるという事実を使う:

${\displaystyle K^{V}\approx F(V,K)}${\displaystyle K^{V}\approx F(V,K)}

両者が同一視できるのは以下の理由による。${\displaystyle K^{V}}${\displaystyle K^{V}}の任意の元${\displaystyle \nu =(\nu _{x})_{x\in V}}${\displaystyle \nu =(\nu _{x})_{x\in V}}から(線形とは限らない)写像${\displaystyle x\in V\mapsto \nu _{x}\in K}${\displaystyle x\in V\mapsto \nu _{x}\in K}を定める事ができ、逆にVからKへの(線形とは限らない)に${\displaystyle \zeta ~:~V\to K}${\displaystyle \zeta ~:~V\to K}対して${\displaystyle (\zeta (x))_{x\in V}\in K^{V}}${\displaystyle (\zeta (x))_{x\in V}\in K^{V}}が対応する。

上記の同一視を行った場合、${\displaystyle K^{V}}${\displaystyle K^{V}}の位相(直積位相)はF(V, K)の各点収束位相と一致する。

μ(B^*)のコンパクト性を示す為、${\displaystyle D_{x}\subset K_{x}}${\displaystyle D_{x}\subset K_{x}}を

${\displaystyle D_{x}=\{\xi \in K_{x}\mid |\xi |\leq \|x\|_{V}\}}${\displaystyle D_{x}=\{\xi \in K_{x}\mid |\xi |\leq \|x\|_{V}\}}

により定義し、

${\displaystyle D^{V}:=\prod _{x\in V}D_{x}}${\displaystyle D^{V}:=\prod _{x\in V}D_{x}}

すると、定義より

${\displaystyle \mu (B^{*})\subset D^{V}\subset K^{V}\approx F(V,K)}${\displaystyle \mu (B^{*})\subset D^{V}\subset K^{V}\approx F(V,K)}

である。D_xはK_x=${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } or ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} }の閉単位球なのでコンパクトである。よってチコノフの定理より、${\displaystyle D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}}${\displaystyle D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}}は${\displaystyle F(V,K)}${\displaystyle F(V,K)}のコンパクト部分集合である。${\displaystyle F(V,K)}${\displaystyle F(V,K)}は明らかにハウスドルフなので、コンパクトな集合${\displaystyle D^{V}}${\displaystyle D^{V}}の部分集合μ(B^*)がコンパクトである必要十分条件はμ(B^*)が閉集合な事である。

以上の事からB^*のコンパクト性を示すには、μ(B^*)が${\displaystyle D^{V}\subset F(V,K)}${\displaystyle D^{V}\subset F(V,K)}で閉集合な事を示せば良い。これを示すためにμ(B^*)と${\displaystyle D^{V}}${\displaystyle D^{V}}の関係を調べる。${\displaystyle D^{V}}${\displaystyle D^{V}}を(線形とは限らない)写像の集合${\displaystyle F(V,K)}${\displaystyle F(V,K)}の部分集合とみなしたとき、

${\displaystyle \nu \in D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}\iff \forall x\in V~:~|\nu (x)|\leq \|x\|_{V}\iff \sup _{x\in V\setminus \{0\}}{|\nu (x)| \over \|x\|_{V}}\leq 1{\text{ and }}\nu (0)=0}${\displaystyle \nu \in D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}\iff \forall x\in V~:~|\nu (x)|\leq \|x\|_{V}\iff \sup _{x\in V\setminus \{0\}}{|\nu (x)| \over \|x\|_{V}}\leq 1{\text{ and }}\nu (0)=0}

なので、作用素ノルム${\displaystyle \|\cdot \|_{V^{*}}}${\displaystyle \|\cdot \|_{V^{*}}}の定義より、

${\displaystyle \mu (B^{*})={\bigg \{}\nu \in D^{V}{\bigg |}\nu }${\displaystyle \mu (B^{*})={\bigg \{}\nu \in D^{V}{\bigg |}\nu }は線形${\displaystyle {\bigg \}}}${\displaystyle {\bigg \}}}

が従う。よってμ(B^*)が閉集合である事を示すには収束する任意の有向点族 ${\displaystyle (\alpha _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset B^{*}}${\displaystyle (\alpha _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset B^{*}}に対し、その極限α_∞がα_∞ ∈ B_*を満たす事を示せばよい。そこでx, y ∈ V、a, b ∈ Kを任意に取ると、

${\displaystyle \alpha _{\infty }(ax+by)=(\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda })(ax+by){\underset {\text{(1)}}{=}}\mu _{ax+by}(\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda })}${\displaystyle \alpha _{\infty }(ax+by)=(\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda })(ax+by){\underset {\text{(1)}}{=}}\mu _{ax+by}(\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda })}${\displaystyle {\underset {\text{(2)}}{=}}\lim _{\lambda \to \infty }\mu _{ax+by}(\alpha _{\lambda }){\underset {\text{(3)}}{=}}a\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda }(x)+b\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda }(y)}${\displaystyle {\underset {\text{(2)}}{=}}\lim _{\lambda \to \infty }\mu _{ax+by}(\alpha _{\lambda }){\underset {\text{(3)}}{=}}a\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda }(x)+b\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda }(y)}${\displaystyle =a\alpha _{\infty }(x)+b\alpha _{\infty }(y)}${\displaystyle =a\alpha _{\infty }(x)+b\alpha _{\infty }(y)}

が成立する。ここで

• (1)は${\displaystyle \mu _{x}}${\displaystyle \mu _{x}}の定義から従う。
• (2)は*弱位相が${\displaystyle (\mu _{x})_{x\in V}}${\displaystyle (\mu _{x})_{x\in V}}を全て連続にする最弱の位相である事から従う。
• (3)は${\displaystyle \mu _{x}}${\displaystyle \mu _{x}}の定義、およびKにおける和や定数倍の連続性から従う。

よってα_∞ ∈ B_*が示され、定理が証明された。

可分なノルム空間Vの共役空間V^*の閉単位球B^*は*弱位相に関して距離化可能な事が知られており^[4] 、距離化可能空間ではB^*のコンパクト性は点列コンパクト性と同値であるので、任意に点列${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B^{*}}${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B^{*}}を選んで固定し、${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}がB^*内に収束する部分列を持つ事を示せば良い。

Vは可分なので、Vの稠密部分集合${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset V}${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset V}が存在する。今、

${\displaystyle \alpha _{n}\in B^{*}\Rightarrow \|\alpha _{n}\|_{V^{*}}\leq 1\Rightarrow |\alpha _{n}(x_{i})|\leq |x_{i}|}${\displaystyle \alpha _{n}\in B^{*}\Rightarrow \|\alpha _{n}\|_{V^{*}}\leq 1\Rightarrow |\alpha _{n}(x_{i})|\leq |x_{i}|}

が成立するので、各iに対し、数列${\displaystyle (\alpha _{n}(x_{i}))_{n\in \mathbb {N} }\subset K}${\displaystyle (\alpha _{n}(x_{i}))_{n\in \mathbb {N} }\subset K}はK上有界であり、したがって収束部分列を持つ。

よって各iに対して順に${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}の部分列を取っていくことで任意のiに対して${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }}がm→∞に関して収束するような${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}を選ぶ事ができる。

次に我々は、${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset V}${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset V}がVで稠密な事を利用して、任意のx ∈ Vに対し${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}がコーシー列である事を示す。V^*は(Vが完備であるかどうかによらず)必ず完備なので、これにより${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}の収束性が従う。

そこでε>0とx ∈ Vを任意に固定すると、${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}はVの稠密性より、

${\displaystyle \|x-x_{i}\|\leq \varepsilon }${\displaystyle \|x-x_{i}\|\leq \varepsilon }

を満たすx_iが存在する。よって任意のm、${\displaystyle \ell \in \mathbb {N} }${\displaystyle \ell \in \mathbb {N} }に対し、

${\displaystyle {\begin{aligned}&|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\\&\leq |\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{m}}(x_{i})|+|\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+|\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\\&\leq \|\alpha _{n_{m}}\|_{V^{*}}\|x_{i}-x\|_{V}+|\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+\|\alpha _{n_{\ell }}\|_{V^{*}}\|x_{i}-x\|_{V}\\&\leq |\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+2\varepsilon \end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}&|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\\&\leq |\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{m}}(x_{i})|+|\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+|\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\\&\leq \|\alpha _{n_{m}}\|_{V^{*}}\|x_{i}-x\|_{V}+|\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+\|\alpha _{n_{\ell }}\|_{V^{*}}\|x_{i}-x\|_{V}\\&\leq |\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+2\varepsilon \end{aligned}}}

が成立する。最後の不等式は${\displaystyle \alpha _{n_{m}},\alpha _{n_{\ell }}\in B^{*}}${\displaystyle \alpha _{n_{m}},\alpha _{n_{\ell }}\in B^{*}}と${\displaystyle \|x-x_{i}\|_{V}\leq \varepsilon }${\displaystyle \|x-x_{i}\|_{V}\leq \varepsilon }を用いた。

各固定されたiに対し${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }}は収束列であり、したがってコーシー列であるので、上記の事から、

${\displaystyle 0\leq {\overline {\lim }}_{m,\ell \to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\leq 2\varepsilon }${\displaystyle 0\leq {\overline {\lim }}_{m,\ell \to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\leq 2\varepsilon }

が成立する。よってε>0の任意性より、

${\displaystyle \lim _{m,\ell \to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|=0}${\displaystyle \lim _{m,\ell \to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|=0}

が任意のx ∈ Vに対して成立する。よって任意のx ∈ Vに対し${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}はコーシー列であり、したがってV^*の完備性より収束列である。

最後に、

${\displaystyle \alpha ~:~V\to K}${\displaystyle \alpha ~:~V\to K}

を、x ∈ Vに${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}の収束先を対応させる写像とする。この写像αがV^*の元であり、しかも${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}の収束先である事を示せば、定理が証明される。

αがV^*の元である事を示すため、V^*の条件を順に示す。まず${\displaystyle \alpha _{n_{m}}}${\displaystyle \alpha _{n_{m}}}の線形性より${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha }の線形性が従う。しかも任意のε>0と任意のx ∈ Vに対し、ある${\displaystyle m_{0}\in \mathbb {N} }${\displaystyle m_{0}\in \mathbb {N} }以上のmに対して

${\displaystyle |\alpha (x)|\leq |\alpha (x)-\alpha _{n_{m}}(x)|+|\alpha _{n_{m}}(x)|\leq \varepsilon +|x|}${\displaystyle |\alpha (x)|\leq |\alpha (x)-\alpha _{n_{m}}(x)|+|\alpha _{n_{m}}(x)|\leq \varepsilon +|x|}

が${\displaystyle \alpha _{n_{m}}\in B^{*}}${\displaystyle \alpha _{n_{m}}\in B^{*}}から従うので、ε>0の任意性から ${\displaystyle |\alpha (x)|\leq |x|}${\displaystyle |\alpha (x)|\leq |x|}、すなわち${\displaystyle \alpha \in B^{*}\subset V^{*}}${\displaystyle \alpha \in B^{*}\subset V^{*}}が従う。

αの定義より、${\displaystyle \lim _{m\to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha (x)|=0}${\displaystyle \lim _{m\to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha (x)|=0}が任意のx ∈ Vに対して従い、これは${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}がαに*弱収束する事を意味する。

X 内の任意の x に対し、

${\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq \|x\|\},}${\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq \|x\|\},}

と

${\displaystyle D=\Pi _{x\in X}D_{x}}${\displaystyle D=\Pi _{x\in X}D_{x}}

を定める。各 D_x は複素平面内のコンパクト部分集合であるため、チコノフの定理より積位相において D もまたコンパクトである。

X* 内の閉単位球 B₁(X*) は、自然な方法で D の部分集合と見なすことが出来る。すなわち

${\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{*}\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D}${\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{*}\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D}

である。この写像は単射かつ連続で、B₁(X*) は弱 * 位相を持ち、D は積位相である。この値域上で定義される逆写像もまた連続である。

この写像の値域が閉であることが示されれば、定理は証明される。しかしそれは明らかである。D 内の次のネット

${\displaystyle (f_{\alpha }(x))_{x\in X}\rightarrow (\lambda _{x})_{x\in X}}${\displaystyle (f_{\alpha }(x))_{x\in X}\rightarrow (\lambda _{x})_{x\in X}}

を考えると、次で定義される汎函数

${\displaystyle g(x)=\lambda _{x},円}${\displaystyle g(x)=\lambda _{x},円}

は B₁(X*) に属する。