ベッポ・レヴィ空間

関数解析学におけるベッポ・レヴィ空間(ベッポ・レヴィくうかん、英: Beppo-Levi space)とは超関数の空間である。名前はベッポ・レヴィ (英語版)に因む。

D' をシュワルツ超関数の空間、S' を Rⁿ 上の緩増加超関数の空間、 α を多重指数、D^α を多重指数記法による微分作用素、ˆv を v のフーリエ変換とする。 |·|_{r, p, Ω} をソボレフ半ノルムとして、ベッポ・レヴィ空間 ·W ^{r, p}(Ω) は次のように定義される。

${\displaystyle {\dot {W}}^{r,p}(\Omega )=\{v\in D'(\Omega ):|v|_{r,p,\Omega }<\infty \}.}${\displaystyle {\dot {W}}^{r,p}(\Omega )=\{v\in D'(\Omega ):|v|_{r,p,\Omega }<\infty \}.}

あるいは別の定義として、

${\displaystyle -m+{\frac {n}{2}}<s<{\frac {n}{2}}}${\displaystyle -m+{\frac {n}{2}}<s<{\frac {n}{2}}}

を満たす m ∈ N, s ∈ R について、

${\displaystyle H^{s}=\{v\in S'|{\hat {v}}\in L_{\text{loc}}^{1}(R^{n}),\int _{R^{n}}|\xi |^{2s}|{\hat {v}}(\xi )|^{2},円d\xi <\infty \}}${\displaystyle H^{s}=\{v\in S'|{\hat {v}}\in L_{\text{loc}}^{1}(R^{n}),\int _{R^{n}}|\xi |^{2s}|{\hat {v}}(\xi )|^{2},円d\xi <\infty \}}

としたとき、ベッポ・レヴィ空間 X ^{m, s} は以下のように定義される。

${\displaystyle X^{m,s}=\{v\in D'|\forall \alpha \in N^{n},|\alpha |=m,D^{\alpha }v\in H^{s}\}.}${\displaystyle X^{m,s}=\{v\in D'|\forall \alpha \in N^{n},|\alpha |=m,D^{\alpha }v\in H^{s}\}.}

• Wendland, Holger (2005). Scattered Data Approximation. Cambridge University Press .
• Arcangéli, Rémi; López de Silanes, María Cruz; Torrens, Juan José (2007-08). "An extension of a bound for functions in Sobolev spaces, with applications to (m,s)-spline interpolation and smoothing". Numerische Mathematik 107 (2): 181-211. doi:10.1007/s00211-007-0092-z. 
• Arcangéli, Rémi; López de Silanes, María Cruz; Torrens, Juan José (2009-11). "Estimates for functions in Sobolev spaces defined on unbounded domains". Journal of Approximation Theory 161 (1): 198–212. doi:10.1016/j.jat.200809001. 

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