アーベルの総和公式

アーベルの総和公式(アーベルのそうわこうしき、英: Abel's summation formula)は、級数の変形に関する公式の一つである。 部分和分の一種で、級数の大きさの評価に用いられる(この公式による級数の変形を単に部分和分ということもある)。

数列 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0,1,\cdots }}${\displaystyle (a_{n})_{n=0,1,\cdots }} と実数 ${\displaystyle x\geq 0}${\displaystyle x\geq 0} に対し、 その総和を ${\displaystyle A(x)=\sum _{0\leq n\leq x}a_{n}}${\displaystyle A(x)=\sum _{0\leq n\leq x}a_{n}} と定める。 また関数 ${\displaystyle f(t)}${\displaystyle f(t)} が ${\displaystyle 0<t<x}${\displaystyle 0<t<x} において微分可能とする。このとき

${\displaystyle \sum _{n=0}^{x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{0}^{x}A(t)f^{\prime }(t)dt}${\displaystyle \sum _{n=0}^{x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{0}^{x}A(t)f^{\prime }(t)dt}

が成り立つ。

より一般に、${\displaystyle f(t)}${\displaystyle f(t)} が ${\displaystyle x<t<y}${\displaystyle x<t<y} において微分可能なとき

${\displaystyle \sum _{n=x}^{y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(t)f^{\prime }(t)dt}${\displaystyle \sum _{n=x}^{y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(t)f^{\prime }(t)dt}

が成り立つ。

この定理はアーベルの級数変形法の特殊な場合である。

また、リーマン=スティルチェス積分の部分積分の公式でもあり、リーマン=スティルチェス積分を使って

${\displaystyle \int _{x}^{y}fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}Adf}${\displaystyle \int _{x}^{y}fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}Adf}

とも表される。

証明については Apostol, 第3章および第4章 や Hardy-Wright, 第22章を参照。

調和級数 ${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}{\frac {1}{n}}}${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}{\frac {1}{n}}} について、${\displaystyle a_{n}=1(n=1,2,\cdots ),f(t)={\frac {1}{t}}}${\displaystyle a_{n}=1(n=1,2,\cdots ),f(t)={\frac {1}{t}}} とおくと ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor } より

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor t\rfloor }{t^{2}}}dt=\log x+1-{\frac {\{x\}}{x}}-\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t^{2}}}dt}${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor t\rfloor }{t^{2}}}dt=\log x+1-{\frac {\{x\}}{x}}-\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t^{2}}}dt}

が成り立つ。このことから

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}=\log x+\gamma +O\left({\frac {1}{x}}\right)}${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}=\log x+\gamma +O\left({\frac {1}{x}}\right)}

となる定数 γ が存在することが分かる。この定数 γ はオイラーの定数といわれる。

• Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001  
• Apostol, Tom A. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4. MR 0434929. Zbl 0335.10001  

• 『アーベルの総和公式とその意味』 - 高校数学の美しい物語

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