5の平方根

5の平方根(ごのへいほうこん)は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

${\displaystyle {\sqrt {5}}}${\displaystyle {\sqrt {5}}}

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

${\displaystyle -{\sqrt {5}}}${\displaystyle -{\sqrt {5}}}

である。以下、正の平方根について記述する。

${\displaystyle {\sqrt {5}}}${\displaystyle {\sqrt {5}}}は無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである^[1] 。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227...

語呂合わせでは「富士山麓オウム鳴く(ふじさんろくおうむなく)」などがある。

• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}${\displaystyle {\sqrt {5}}}は代数的整数である。${\displaystyle {\sqrt {5}}}${\displaystyle {\sqrt {5}}} の有理数体 ${\displaystyle \mathbb {Q} }${\displaystyle \mathbb {Q} } 上の既約多項式は x ² − 5 である。
• ${\displaystyle {\sqrt {5}}}${\displaystyle {\sqrt {5}}}の連分数表示は

${\displaystyle {\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}${\displaystyle {\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}

となる。

• 黄金比に ${\displaystyle {\sqrt {5}}}${\displaystyle {\sqrt {5}}} が登場する。具体的には

${\displaystyle 1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}${\displaystyle 1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

で表される。

• フィボナッチ数列の一般項に現れる。

${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}}${\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}}

で表される。

• 平方根
• 2の平方根
• 3の平方根
• 6の平方根
• 7の平方根
• 10の平方根
• 立方根

• 5の平方根の近似値(100万桁)2015年3月30日閲覧

• 代数的数
• 無理数
• 数学に関する記事

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