立方根

立方根(りっぽうこん、cubic root、root of third power)とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根(さんじょうこん)ともいう。

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x³ を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立 (かいりゅう)という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}} と表す。

• 正の数 ${\displaystyle a}${\displaystyle a} に対して、

  ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-a}}=-{\sqrt[{3}]{a}}.}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-a}}=-{\sqrt[{3}]{a}}.}

• ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1} の虚立方根の一つを ${\displaystyle \omega }${\displaystyle \omega } とすると、もう一つの虚立方根は ${\displaystyle \omega ^{2}}${\displaystyle \omega ^{2}} であり、${\displaystyle \omega }${\displaystyle \omega }, ${\displaystyle \omega ^{2}}${\displaystyle \omega ^{2}} はともに 1 の原始冪根である。また、${\displaystyle 1+\omega +\omega ^{2}=0}${\displaystyle 1+\omega +\omega ^{2}=0} が成り立つ。

${\displaystyle 1,\quad \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad \omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i={\overline {\omega }}.}${\displaystyle 1,\quad \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad \omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i={\overline {\omega }}.}

${\displaystyle \omega =\exp \left(i\cdot \left({\frac {2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad \omega ^{2}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {4\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad {\overline {\omega }}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right).}${\displaystyle \omega =\exp \left(i\cdot \left({\frac {2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad \omega ^{2}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {4\pi }{3}}+2k\pi \right)\right),\quad {\overline {\omega }}=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-2\pi }{3}}+2k\pi \right)\right).}

${\displaystyle \omega +1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega ^{2},\quad {\overline {\omega }}+1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega .}${\displaystyle \omega +1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega ^{2},\quad {\overline {\omega }}+1=\exp \left(i\cdot \left({\frac {-\pi }{3}}+2k\pi \right)\right)=-\omega .}

${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\omega ^{2},\quad {\frac {1}{\omega ^{2}}}=\omega .}${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\omega ^{2},\quad {\frac {1}{\omega ^{2}}}=\omega .}

• ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } が ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0} でない複素数ならば、${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 ${\displaystyle O}${\displaystyle O} を中心とする半径 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{|\alpha |}}}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{|\alpha |}}} の円に内接する正三角形の頂点になる。

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1.2599210498\cdots }${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1.2599210498\cdots }(オンライン整数列大辞典の数列 A002580)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}=1.4422495703\cdots }${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}=1.4422495703\cdots }(オンライン整数列大辞典の数列 A002581)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}=1.5874010519\cdots }${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}=1.5874010519\cdots }(オンライン整数列大辞典の数列 A005480)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}=1.7099759466\cdots }${\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}=1.7099759466\cdots }(オンライン整数列大辞典の数列 A005481)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{6}}=1.8171205928\cdots }${\displaystyle {\sqrt[{3}]{6}}=1.8171205928\cdots }(オンライン整数列大辞典の数列 A005486)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{7}}=1.9129311827\cdots }${\displaystyle {\sqrt[{3}]{7}}=1.9129311827\cdots }(オンライン整数列大辞典の数列 A005482)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }(オンライン整数列大辞典の数列 A010581)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}=2.15443469003}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}=2.15443469003}

複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

${\displaystyle z^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {z}\right).}${\displaystyle z^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {z}\right).}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }${\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230\cdots }

極形式では

${\displaystyle z=r\exp(i\theta ),円}${\displaystyle z=r\exp(i\theta ),円}

ここで rは非負の実数、${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta }の定義域は以下とする(偏角は多価関数のため)。

${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi },

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).}

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} は ${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}i}${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}i}(${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{8}}e^{\frac {\pi i}{3}}}${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{8}}e^{\frac {\pi i}{3}}}) が主要根となる(-2(${\displaystyle =(1+{\sqrt {3}}i)e^{\frac {2\pi i}{3}}}${\displaystyle =(1+{\sqrt {3}}i)e^{\frac {2\pi i}{3}}})ではない)。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

${\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}<{\frac {\theta }{3}}\leq {\frac {\pi }{3}}}${\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}<{\frac {\theta }{3}}\leq {\frac {\pi }{3}}}

単位円での例

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}}と${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-z}}}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-z}}}の主要根の関係を単位円上で示すと(${\displaystyle \Im (z)\geq 0}${\displaystyle \Im (z)\geq 0}、偏角 ${\displaystyle \theta =21^{\circ }}${\displaystyle \theta =21^{\circ }} の例)

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{\cos 21^{\circ }+i\sin 21^{\circ }}}=\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ }}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{\cos 21^{\circ }+i\sin 21^{\circ }}}=\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ }}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{-z}}={\sqrt[{3}]{-\cos 21^{\circ }-i\sin 21^{\circ }}}=&{\sqrt[{3}]{\cos(-159^{\circ })+i\sin(-159^{\circ })}}\\=&\cos(-53^{\circ })+i\sin(-53^{\circ })\\=&-\omega (\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ })\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{-z}}={\sqrt[{3}]{-\cos 21^{\circ }-i\sin 21^{\circ }}}=&{\sqrt[{3}]{\cos(-159^{\circ })+i\sin(-159^{\circ })}}\\=&\cos(-53^{\circ })+i\sin(-53^{\circ })\\=&-\omega (\cos 7^{\circ }+i\sin 7^{\circ })\end{aligned}}}

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• Weisstein, Eric W. "Cube Root". mathworld.wolfram.com (英語).

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