ディラック方程式

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場の量子論

(ファインマン・ダイアグラム)

歴史

背景
量子力学場の理論ゲージ理論ヤン=ミルズ理論自発的対称性の破れポアンカレ群

対称性
荷電共役対称性交叉対称性 (英語版) パリティ時間反転対称性(T対称性)

方法
量子異常(アノマリー) 有効場の理論真空期待値ファデエフ=ポポフゴーストファインマン・ダイアグラム格子ゲージ理論 LSZ簡約公式分配関数伝播関数量子化繰り込み真空状態ウィックの定理ワイトマンの公理系

方程式
ディラック方程式クライン–ゴルドン方程式プロカ方程式ホイーラー・ドウィット方程式

標準模型
量子電磁力学量子色力学ワインバーグ=サラム理論ヒッグス機構

未完成理論
量子重力理論弦理論超対称性テクニカラー (英語版) 万物の理論

科学者

アドラー (英語版) • ベーテ • ボゴリューボフ • カラン (英語版) • キャンドリン (英語版) • コールマン • ドウィット • ディラック • ダイソン • フェルミ • ファインマン • フィールツ (英語版) • フレーリッヒ (英語版) • ゲルマン • ゴールドストーン • グロス • トホーフト • ジャッキーヴ (英語版) • クライン • ランダウ • 李政道 • レーマン • マヨラナ • 南部 • パリージ • ポリャコフ • アブドゥッサラーム • シュウィンガー • スキルム • シュテュッケルベルク • シマンチク (英語版) • 朝永 • フェルトマン • ワインバーグ • ワイスコフ • ウィルソン • ウィルチェック • ウィッテン • 楊振寧 • 湯川 • ジマーマン (英語版)

ディラック方程式(ディラックほうていしき、英: Dirac equation)は、フェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

歴史

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非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた(この問題は、その後の場の量子論においては回避される)。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった(これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である)。

ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする(特殊)相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。

しかしディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。

1930年にディラックは「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海 の概念(空孔理論、hole theory)を考案した。ディラックの海では負エネルギーの電子が取り除かれた「空孔」が生じることがあるが、ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えた。後に空孔は陽電子であることが指摘された(ヘルマン・ワイル、ロバート・オッペンハイマーによる)。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、ディラックの海は現実の現象を説明する優れた理論とされた。

その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた(相対論的な場の量子論)。その結果、ディラックの海を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。

→詳細は「量子電磁力学」を参照

ディラック方程式

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ディラック方程式は $\hbar =1,c=1$ {\displaystyle \hbar =1,c=1} とする自然単位系では

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m\psi (x)=0$ {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m\psi (x)=0}

と表される。ψ は4成分スピノルの場(ディラック場)である。

$\psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\\\psi _{3}(x)\\\psi _{4}(x)\\\end{pmatrix}}$ {\displaystyle \psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\\\psi _{3}(x)\\\psi _{4}(x)\\\end{pmatrix}}}

m は ψ の質量である。μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分 $\partial _{\mu }$ {\displaystyle \partial _{\mu }} は

$\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)$ {\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}

である。 $\gamma ^{\mu }$ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} はガンマ行列 (ディラック行列)と呼ばれる 4×4行列で

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}\equiv \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }$ {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}\equiv \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }}

を満たす。 $\eta _{\mu \nu }=\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)$ {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)} はミンコフスキー空間の計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば

$i\gamma ^{0}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+i{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \nabla \psi -m\psi =0$ {\displaystyle i\gamma ^{0}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+i{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \nabla \psi -m\psi =0}

となる。移項して左から $\gamma ^{0}$ {\displaystyle \gamma ^{0}} を掛ければ

$i{\frac {\partial \psi }{\partial {}t}}=H\psi =-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \psi +\beta m\psi$ {\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial {}t}}=H\psi =-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \psi +\beta m\psi }

と表すことができる。ただし $\alpha ^{j}=\gamma ^{0}\gamma ^{j},\beta =\gamma ^{0}$ {\displaystyle \alpha ^{j}=\gamma ^{0}\gamma ^{j},\beta =\gamma ^{0}} である。ここで $H=-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m$ {\displaystyle H=-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m} はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

ディラックの着想

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相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式

$-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\nabla ^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}})+m^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}})$ {\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\nabla ^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}})+m^{2}\psi (t,{\boldsymbol {x}})}

は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式

$i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \psi (t,{\boldsymbol {x}})+\beta m\psi (t,{\boldsymbol {x}})$ {\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \psi (t,{\boldsymbol {x}})+\beta m\psi (t,{\boldsymbol {x}})}

に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式

$(-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m)^{2}=-\nabla ^{2}+m^{2}$ {\displaystyle (-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m)^{2}=-\nabla ^{2}+m^{2}}

を満たすように4つの係数 α=(α₁, α₂, α₃)、β を与えることを考えた。このとき、α_i(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は

$\{\alpha _{i},\alpha _{j}\}=0\quad i\neq j,$ {\displaystyle \{\alpha _{i},\alpha _{j}\}=0\quad i\neq j,}

$\{\alpha _{i},\beta \}=0,~(\alpha _{i})^{2}=\beta ^{2}=1$ {\displaystyle \{\alpha _{i},\beta \}=0,~(\alpha _{i})^{2}=\beta ^{2}=1}

となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

ローレンツ共変性

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ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

x^{\mu }\rightarrow x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }

{\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}

\psi _{a}(x)\rightarrow \psi '_{a}(x)=[D(\Lambda )]_{a}{}^{b},円\psi _{b}(\Lambda ^{-1}x)

{\displaystyle \psi _{a}(x)\rightarrow \psi '_{a}(x)=[D(\Lambda )]_{a}{}^{b},円\psi _{b}(\Lambda ^{-1}x)}

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi '(x)=0

{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi '(x)=0}

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

[D(\Lambda )]_{a}{}^{c},円[\gamma ^{\mu }]_{c}{}^{d},円[D(\Lambda )^{-1}]_{d}{}^{b}=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }[\gamma ^{\nu }]_{a}{}^{b}

{\displaystyle [D(\Lambda )]_{a}{}^{c},円[\gamma ^{\mu }]_{c}{}^{d},円[D(\Lambda )^{-1}]_{d}{}^{b}=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }[\gamma ^{\nu }]_{a}{}^{b}}

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

D(\Lambda )={\begin{pmatrix}M&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &(M^{\dagger })^{-1}\\\end{pmatrix}}

{\displaystyle D(\Lambda )={\begin{pmatrix}M&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &(M^{\dagger })^{-1}\\\end{pmatrix}}}

M\sigma ^{\mu }M^{\dagger }=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }\sigma ^{\nu }

{\displaystyle M\sigma ^{\mu }M^{\dagger }=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }\sigma ^{\nu }}

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\cosh \beta &0&0&\sinh \beta \0円&1&0&0\0円&0&1&0\\\sinh \beta &0&0&\cosh \beta \\\end{pmatrix}}

{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\cosh \beta &0&0&\sinh \beta \0円&1&0&0\0円&0&1&0\\\sinh \beta &0&0&\cosh \beta \\\end{pmatrix}}}

M={\begin{pmatrix}e^{-\beta /2}&0\0円&e^{\beta /2}\\\end{pmatrix}}

{\displaystyle M={\begin{pmatrix}e^{-\beta /2}&0\0円&e^{\beta /2}\\\end{pmatrix}}}

となる。

参考文献

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原論文

P.A.M. Dirac (1928). "The Quantum Theory of the Electron". Proc. R. Soc. A 117 (778): 610-624. doi:10.1098/rspa.1928.0023 . http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/117/778/610 .

表話編歴量子力学
全般	序論 (英語版) 数学的定式化
背景	古典力学前期量子論量子論量子力学の歴史量子力学の年表
基本概念	量子状態波動関数重ね合わせ不確定性原理可観測量相補性二重性不確定性トンネル効果排他原理エーレンフェストの定理量子もつれデコヒーレンス
定式化	シュレーディンガー描像ハイゼンベルク描像相互作用描像波動力学行列力学経路積分 GNS表現
方程式	シュレーディンガー方程式ハイゼンベルク方程式パウリ方程式クライン=ゴルドン方程式ディラック方程式
実験	二重スリット実験シュテルン=ゲルラッハの実験デイヴィソン=ガーマーの実験ベルの不等式の検証実験 (英語版) ポパーの実験 (英語版) シュレーディンガーの猫爆弾検査問題 (英語版) 量子消しゴム実験
解釈 (英語版)	観測問題ボーム解釈無矛盾歴史コペンハーゲン解釈アンサンブル解釈隠れた変数理論多世界解釈客観的収縮 (英語版) 量子論理関係性量子力学 (RQM) (英語版) 確率過程量子化交流解釈 (英語版) フォン・ノイマン=ウィグナー解釈
人物	ジョン・スチュワート・ベルデヴィッド・ボームニールス・ボーアマックス・ボルンサティエンドラ・ボースルイ・ド・ブロイポール・ディラックポール・エーレンフェストヒュー・エヴェレット3世リチャード・P・ファインマンヴェルナー・ハイゼンベルクパスクアル・ヨルダンヘンリク・アンソニー・クラマースジョン・フォン・ノイマンヴォルフガング・パウリマックス・プランクエルヴィン・シュレーディンガーアルノルト・ゾンマーフェルトヴィルヘルム・ヴィーンユージン・ウィグナー
関連項目	散乱理論相対論的量子力学場の量子論量子情報量子カオス量子コンピューター
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