一様凸空間
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
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数学において一様凸空間(いちようとつくうかん、英: uniformly convex space)あるいは一様円形空間(uniformly rotund space)は、回帰的 バナッハ空間の代表的な例である。一様凸性の概念は、1936年にジェームス・A・クラークソン (英語版)によって初めて導入された。
定義
一様凸空間とは、すべての {\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2} に対して、ある {\displaystyle \delta >0} が存在し、{\displaystyle \|x\|=1}, {\displaystyle \|y\|=1} を満たす二つの任意のベクトルに対して
- {\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }
ならば
- {\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }
が成立するようなノルムベクトル空間のことをいう。直感的に、単位球の内側の線分の中心が、その線分が短すぎない限り、単位球のより内側に存在することをいう。
性質
- ミルマン=ペティスの定理 (英語版)によると、すべての一様凸バナッハ空間は回帰的であるが、その逆は真ではない。
- {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} が一様凸バナッハ空間において {\displaystyle f} に弱収束する列で {\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|} を満たすなら、{\displaystyle f_{n}} は {\displaystyle f} に強収束する: {\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0.}
- バナッハ空間 {\displaystyle X} が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 {\displaystyle X^{*}} が一様滑らか (英語版)であることである。
- すべての一様凸空間は狭義凸である。
例
- すべてのヒルベルト空間は一様凸である。
- 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
- ハンナーの不等式 (英語版)によると、Lp 空間({\displaystyle 1<p<\infty })は一様凸である。
- {\displaystyle L^{\infty }} は一様凸ではない。
関連項目
参考文献
- Clarkson, J. A. (1936). "Uniformly convex spaces". Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 40 (3): 396–414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630 .
- Hanner, O. (1956). "On the uniform convexity of {\displaystyle L^{p}} and {\displaystyle l^{p}}". Ark. Mat. 3: 239–244. doi:10.1007/BF02589410 .
- Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry (Second revised ed.). North-Holland. ISBN 0-444-86416-4
- Per Enflo (1972). "Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm". Israel Journal of Mathematics 13 (3–4): 281–288. doi:10.1007/BF02762802.
- Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.