素数階乗

素数階乗(そすうかいじょう、英: Primorial)とは、2 以上の自然数に対してそれ以下の素数全ての総乗のことである。自然数 n の素数階乗は、記号では n# で表す。

2# = 2

3# = 3 ×ばつ 2 = 6

4# = 3# = 6

5# = 5 ×ばつ 3# = 30

6# = 5# = 30

これらから分かるように n# は、 n 以下の最大の素数を p として、p# に等しい。p に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順に^[1]

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, ...

• 5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1,3,7,9 のいずれかに限られる。
• 素数が無数に存在することの証明に用いられることがある。

証明:最大の素数の存在を仮定し、それを p_max とおくと、p_max# + 1 は p_max 以下の素数で割り切れない。仮定より p_max# + 1 未満の素数は以上で全てなので p_max# + 1 は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって p_max# + 1 は素数でなければならないことになるが、これは p_max を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。(証明終)

実際には、素数 p に対する p# + 1 は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては 11# + 1 = 2311 などが、合成数である例としては 13# + 1 =わ 30031 =わ 59 ×ばつかける 509 などがある。いずれにせよ、p# + 1 の素因子は全て p よりも大きい。

• 全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表される。

720 = 2² ×ばつ 6¹ ×ばつ 30¹

素数階乗数の最初の1個〜10個を下記する。

p₀₁# = 02# = 0000000000002

p₀₂# = 03# = 0000000000006

p₀₃# = 05# = 0000000000030

p₀₄# = 07# = 0000000000210

p₀₅# = 11# = 000000002 310

p₀₆# = 13# = 000000030 030

p₀₇# = 17# = 000000510 510

p₀₈# = 19# = 00009 699 690

p₀₉# = 23# = 00223 092 870

p₁₀# = 29# = 6 469 693 230

次に11個〜20個を下記する。

p₁₁# = 31# = 00000000000000000000200 560 490 130

p₁₂# = 37# = 0000000000000000007 420 738 134 810

p₁₃# = 41# = 0000000000000000304 250 263 527 210

p₁₄# = 43# = 000000000000013 082 761 331 670 030

p₁₅# = 47# = 000000000000614 889 782 588 491 410

p₁₆# = 53# = 00000000032 589 158 477 190 044 730

p₁₇# = 59# = 0000001 922 760 350 154 212 639 070

p₁₈# = 61# = 0000117 288 381 359 406 970 983 270

p₁₉# = 67# = 007 858 321 551 080 267 055 879 090

p₂₀# = 71# = 557 940 830 126 698 960 967 415 390

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