等周定理
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2024年7月19日 (金) 19:03; Neuberg 469 (会話 | 投稿記録) による版 (+reflist)(日時は個人設定で未設定ならUTC)
数学における等周定理(とうしゅうていり)とは、表面積と体積に関する幾何学的不等式である。{\displaystyle n}次元空間 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の物体 {\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}} においてその表面積を {\displaystyle \mathrm {surf} (S)}、体積を {\displaystyle \mathrm {vol} (S)} で表すと、以下の不等式が成り立つ。
- {\displaystyle \mathrm {surf} (S)\geq n\mathrm {vol} (S)^{\frac {n-1}{n}}\mathrm {vol} (B_{1})^{\frac {1}{n}}},
この式の {\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}} は単位球である。等号は {\displaystyle S} が {\displaystyle n}次元の球体であるときに成り立つ。
{\displaystyle n=2}、即ち平面の時には、閉曲線の長さとそれによって囲まれる領域の面積の関係となる[1] 。周長を L、領域の面積を A とすると以下の式が成り立つ。
- {\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}
出典
[編集 ]- ^ 『初等幾何学特選問題』1932、1932年、124-143頁。doi:10.11501/1211458。
- ^ "等周問題に関連する高校数学の問題". 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年7月19日閲覧。
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