Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Die Poisson-Klammer ist definiert als

${\displaystyle \left\{f,g\right\}:=\sum _{k=1}^{s}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\right)}}${\displaystyle \left\{f,g\right\}:=\sum _{k=1}^{s}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{k}}}\right)}}

mit

• ${\displaystyle f}${\displaystyle f} und ${\displaystyle g}${\displaystyle g} Funktionen der generalisierten Koordinaten ${\displaystyle q_{k}}${\displaystyle q_{k}} und der kanonisch konjugierten Impulse ${\displaystyle p_{k}}${\displaystyle p_{k}}
• ${\displaystyle s}${\displaystyle s} Anzahl der Freiheitsgrade.

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen ${\displaystyle F}${\displaystyle F} und ${\displaystyle G}${\displaystyle G} definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

${\displaystyle \{F,G\}_{ab}:=\sum _{k=1}^{s}\left({\frac {\partial F}{\partial a_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial b_{k}}}-{\frac {\partial F}{\partial b_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial a_{k}}}\right)}${\displaystyle \{F,G\}_{ab}:=\sum _{k=1}^{s}\left({\frac {\partial F}{\partial a_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial b_{k}}}-{\frac {\partial F}{\partial b_{k}}}{\frac {\partial G}{\partial a_{k}}}\right)}.

• Bilinearität

${\displaystyle ,円\{c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2},g\}=c_{1}\{f_{1},g\}+c_{2}\{f_{2},g\}}${\displaystyle ,円\{c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2},g\}=c_{1}\{f_{1},g\}+c_{2}\{f_{2},g\}}

• Antisymmetrie

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}, insbesondere ${\displaystyle \{f,f\}=0}${\displaystyle \{f,f\}=0}

• Produktregel

${\displaystyle ,円\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}}${\displaystyle ,円\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}}

• Jacobi-Identität

${\displaystyle ,円\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0}${\displaystyle ,円\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0}

• Invarianz unter kanonischen Transformationen

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} und ${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}${\displaystyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )} zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen ineinander übergehen, so gilt:

${\displaystyle \{f,g\}_{\mathbf {qp} }=\{f,g\}_{\mathbf {QP} }=\{f,g\}}${\displaystyle \{f,g\}_{\mathbf {qp} }=\{f,g\}_{\mathbf {QP} }=\{f,g\}}.

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

${\displaystyle \left\{q_{k},q_{l}\right\}=0}${\displaystyle \left\{q_{k},q_{l}\right\}=0}

${\displaystyle \left\{p_{k},p_{l}\right\}=0}${\displaystyle \left\{p_{k},p_{l}\right\}=0}

${\displaystyle \left\{q_{k},p_{l}\right\}=\delta _{kl}}${\displaystyle \left\{q_{k},p_{l}\right\}=\delta _{kl}} (Kronecker-Delta)

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{l}}}=\delta _{kl}\quad &&{\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{l}}}=0\\&{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{l}}}=0\quad &&{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{l}}}=\delta _{kl}\end{alignedat}}}${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{l}}}=\delta _{kl}\quad &&{\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{l}}}=0\\&{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{l}}}=0\quad &&{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{l}}}=\delta _{kl}\end{alignedat}}}

• Mithilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen ${\displaystyle f(q_{k},p_{k},t)}${\displaystyle f(q_{k},p_{k},t)} eines Hamiltonschen Systems ${\displaystyle H(q_{k},p_{k})}${\displaystyle H(q_{k},p_{k})} ausgedrückt werden (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}.

• Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:

${\displaystyle {\dot {\rho }}=\{H,\rho \}.}${\displaystyle {\dot {\rho }}=\{H,\rho \}.}

• In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch ${\displaystyle \textstyle \left(-{\frac {\rm {i}}{\hbar }}\right)}${\displaystyle \textstyle \left(-{\frac {\rm {i}}{\hbar }}\right)} multipliziert mit dem Kommutator:^[1]

${\displaystyle \{H,f\}\rightarrow -{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {f}}]}${\displaystyle \{H,f\}\rightarrow -{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {f}}]}

Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator ${\displaystyle {\hat {H}}}${\displaystyle {\hat {H}}} im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.

• Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.

• Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch ${\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{ij}\omega _{ij},円\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}}${\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{ij}\omega _{ij},円\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}}, die Poisson-Klammer der Funktionen ${\displaystyle f}${\displaystyle f} und ${\displaystyle g}${\displaystyle g} durch:

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{ij}\omega ^{ij},円\partial _{i}f,円\partial _{j}g,円.}${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{ij}\omega ^{ij},円\partial _{i}f,円\partial _{j}g,円.}

• Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei ${\displaystyle J:T^{*}M\rightarrow TM}${\displaystyle J:T^{*}M\rightarrow TM} der durch ${\displaystyle J^{-1}(v)(w)=\omega (v,w)}${\displaystyle J^{-1}(v)(w)=\omega (v,w)} beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} das Vektorfeld ${\displaystyle X_{f}}${\displaystyle X_{f}} definiert als ${\displaystyle J(\mathrm {d} f)}${\displaystyle J(\mathrm {d} f)}. Damit gilt dann

${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).}${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).}

• Eric W. Weisstein: Poisson Bracket. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081

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