Jacobi-Identität

In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung ${\displaystyle F\colon V\times V\rightarrow V}${\displaystyle F\colon V\times V\rightarrow V} auf dem Vektorraum ${\displaystyle V}${\displaystyle V} die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi), falls gilt:

${\displaystyle F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0}${\displaystyle F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0}

für alle ${\displaystyle x,y,z\in V}${\displaystyle x,y,z\in V}.

Ist die bilineare Abbildung zusätzlich antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Es sei im Folgenden

${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto [x,y]}${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]\colon V\times V\to V,\quad (x,y)\mapsto [x,y]}

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Lie-Algebra auf ${\displaystyle V}${\displaystyle V} definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

• ${\displaystyle [x,[a,b]]=[[x,a],b]+[a,[x,b]]}${\displaystyle [x,[a,b]]=[[x,a],b]+[a,[x,b]]}

Anders gesagt: die Abbildung

${\displaystyle a\mapsto [x,a]}${\displaystyle a\mapsto [x,a]}

ist eine Derivation bezüglich des Produktes ${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]}${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]}.

• ${\displaystyle [[a,b],x]=[a,[b,x]]-[b,[a,x]]}${\displaystyle [[a,b],x]=[a,[b,x]]-[b,[a,x]]}

Anders gesagt: Mit der Notation

${\displaystyle \operatorname {ad} (a)\colon V\to V,\quad x\mapsto \operatorname {ad} (a)(x)=[a,x]}${\displaystyle \operatorname {ad} (a)\colon V\to V,\quad x\mapsto \operatorname {ad} (a)(x)=[a,x]}

gilt

${\displaystyle \operatorname {ad} ([a,b])=[\operatorname {ad} (a),\operatorname {ad} (b)];}${\displaystyle \operatorname {ad} ([a,b])=[\operatorname {ad} (a),\operatorname {ad} (b)];}

dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von ${\displaystyle V}${\displaystyle V}. Anders gesagt: Die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon V\to {\mathfrak {gl}}(V)=\operatorname {End} V,\quad a\mapsto \operatorname {ad} (a)}${\displaystyle \operatorname {ad} \colon V\to {\mathfrak {gl}}(V)=\operatorname {End} V,\quad a\mapsto \operatorname {ad} (a)}

ist eine Darstellung der Lie-Algebra ${\displaystyle V}${\displaystyle V} auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung .

• Jacobi-Identität. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8. 

• Lineare Algebra
• Theorie der Lie-Algebren
• Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber