Impulsabbildung

Die Impulsabbildung ist ein Konzept der mathematischen Physik, mit dem das Noether-Theorem über den Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen theoretisch erklärt werden kann.

Sei ${\displaystyle (M,\omega )}${\displaystyle (M,\omega )} eine symplektische Mannigfaltigkeit. Eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}${\displaystyle G} wirke durch Symplektomorphismen auf ${\displaystyle M}${\displaystyle M}. Die zur Lie-Gruppe zugehörige Lie-Algebra, aus der die Gruppe durch Exponentierung hervorgeht, sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}. Für ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} sei ${\displaystyle \xi _{X}}${\displaystyle \xi _{X}} das entsprechende Vektorfeld auf ${\displaystyle M}${\displaystyle M} und ${\displaystyle \iota }${\displaystyle \iota } bezeichne das innere Produkt auf ${\displaystyle M}${\displaystyle M}.

Weil ${\displaystyle G}${\displaystyle G} durch Symplektomorphismen wirkt, ist die Lie-Ableitung ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi _{X}}\omega =0}${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi _{X}}\omega =0}, mit der Cartan-Formel folgt ${\displaystyle \mathrm {d} \iota _{\xi _{X}}\omega =0}${\displaystyle \mathrm {d} \iota _{\xi _{X}}\omega =0}, das Vektorfeld ist also symplektisch. Wenn die geschlossene Differentialform ${\displaystyle \mathrm {\iota } _{\xi _{X}}\omega }${\displaystyle \mathrm {\iota } _{\xi _{X}}\omega } exakt ist, ist das Vektorfeld zusätzlich hamiltonsch. Dies ist zum Beispiel immer dann der Fall, wenn die erste De-Rham-Kohomologie ${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {R} )=0}${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {R} )=0} ist.

In diesem Fall gibt es eine Funktion ${\displaystyle \mu ^{X}\colon M\to \mathbb {R} }${\displaystyle \mu ^{X}\colon M\to \mathbb {R} } mit ${\displaystyle \mathrm {d} \mu ^{X}=\iota _{\xi _{X}}}${\displaystyle \mathrm {d} \mu ^{X}=\iota _{\xi _{X}}}, und man erhält insgesamt eine Abbildung ${\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}}${\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}} mit ${\displaystyle \mu (x)(X)=\mu ^{X}(x)}${\displaystyle \mu (x)(X)=\mu ^{X}(x)}. Diese Abbildung ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } wird als Impulsabbildung bezeichnet.

• Für den symplektischen Gradienten ${\displaystyle \operatorname {sgrad} }${\displaystyle \operatorname {sgrad} } und jedes ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}^{*}}${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}^{*}} gilt ${\displaystyle \operatorname {sgrad} (\mu ^{X})(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\exp(tX)\cdot x)\right|_{t=0}}${\displaystyle \operatorname {sgrad} (\mu ^{X})(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\exp(tX)\cdot x)\right|_{t=0}} für alle ${\displaystyle x\in M}${\displaystyle x\in M}.
• Für alle ${\displaystyle g\in G,x\in X}${\displaystyle g\in G,x\in X} gilt ${\displaystyle \mu (g\cdot x)=\operatorname {Ad} (g^{-1})^{*}\circ \mu (x)}${\displaystyle \mu (g\cdot x)=\operatorname {Ad} (g^{-1})^{*}\circ \mu (x)}.

Wenn eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}${\displaystyle G} durch Symplektomorphismen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,\omega )}${\displaystyle (M,\omega )} wirkt und ${\displaystyle H}${\displaystyle H} eine ${\displaystyle G}${\displaystyle G}-invariante Hamilton-Funktion ist, dann ist ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } konstant entlang der Integralkurven von ${\displaystyle \operatorname {sgrad} (H)}${\displaystyle \operatorname {sgrad} (H)} (also der Lösungskurven des Hamilton-Systems). Tatsächlich gilt für die Poisson-Klammer mit der Hamilton-Funktion

${\displaystyle \left\{\mu ^{X},H\right\}=\omega (X_{H},X)=\iota _{X}\mathrm {d} H=0}${\displaystyle \left\{\mu ^{X},H\right\}=\omega (X_{H},X)=\iota _{X}\mathrm {d} H=0}

für ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}^{*}}${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}^{*}}, woraus wegen der Gleichung ${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mu ^{X}(\Phi _{H}(t,x))\right|_{t=0}=\left\{\mu ^{X},H\right\}}${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mu ^{X}(\Phi _{H}(t,x))\right|_{t=0}=\left\{\mu ^{X},H\right\}} für den hamiltonschen Fluss ${\displaystyle \Phi _{H}}${\displaystyle \Phi _{H}} die Invarianz von ${\displaystyle \mu ^{X}}${\displaystyle \mu ^{X}} folgt.

• Victor Guillemin, T. L. Ohsawa, Yael Karshon, Viktor L. Ginzburg: Moment Maps, Cobordisms, and Hamiltonian Group Actions. American Mathematical Soc., 2002, ISBN 0-8218-0502-9. 
• Heckman: Lecture notes on the geometry of the momentum map

• Symplektische Topologie
• Theoretische Mechanik
• Symmetrie (Physik)