Poisson-Algebra

Eine Poisson-Algebra ist in der Mathematik eine kommutative, assoziative Algebra, welche mit einer Poisson-Klammer ausgestattet ist. Die Klammer ist eine Lie-Klammer, welche zusätzlich die Leibnizregel erfüllt, das heißt sie ist eine Derivation der assoziativen Multiplikation.

Sei ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein kommutativer Ring. Eine Poisson-Algebra ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ist eine kommutative, assoziative ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Algebra ${\displaystyle (A,\cdot )}${\displaystyle (A,\cdot )} mit einer ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-bilinearen und antisymmetrischen Abbildung

${\displaystyle \{-,-\}:A\times A\to A}${\displaystyle \{-,-\}:A\times A\to A},

genannt Poisson-Klammer, so dass

• ${\displaystyle (A,\{-,-\})}${\displaystyle (A,\{-,-\})} eine Lie-Algebra über ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ist,
• die Poisson-Klammer die Leibnizregel erfüllt

${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}}${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}}.^[1]

Die Striche in der leeren Poisson-Klammer ${\displaystyle \{-,-\}}${\displaystyle \{-,-\}} stehen dabei für einen Platzhalter.

Der ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Modul ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ist mit zwei ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-bilinearen Abbildungen ausgestattet, der Multiplikation ${\displaystyle \cdot \colon A\times A\to A}${\displaystyle \cdot \colon A\times A\to A} und der Poisson-Klammer ${\displaystyle \{-,-\}\colon A\times A\to A}${\displaystyle \{-,-\}\colon A\times A\to A}.

Für die Multiplikation ${\displaystyle \cdot }${\displaystyle \cdot } und ${\displaystyle f,g,h\in A}${\displaystyle f,g,h\in A} gilt

Kommutativität: ${\displaystyle f\cdot g=g\cdot f}${\displaystyle f\cdot g=g\cdot f}

Assoziativität: ${\displaystyle f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h}${\displaystyle f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h}

Für die Poisson-Klammer ${\displaystyle \{-,-\}}${\displaystyle \{-,-\}} und ${\displaystyle f,g,h\in A}${\displaystyle f,g,h\in A} gilt

Antisymmetrie: ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}} und ${\displaystyle \{f,f\}=0}${\displaystyle \{f,f\}=0}

Leibnizregel: ${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}}${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}}

Jacobi-Identität: ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}=\{\{f,g\},h\}+\{g,\{f,h\}\}}${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}=\{\{f,g\},h\}+\{g,\{f,h\}\}}

Für ein ${\displaystyle f\in A}${\displaystyle f\in A} ist die Poisson-Klammer ${\displaystyle D_{f}(-):=\{f,-\}}${\displaystyle D_{f}(-):=\{f,-\}} eine Derivation der Multiplikation, denn es gilt nach den Regeln

${\displaystyle D_{f}(g\cdot h)=\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}=D_{f}(g)\cdot h+g\cdot D_{f}(h).}${\displaystyle D_{f}(g\cdot h)=\{f,g\cdot h\}=\{f,g\}\cdot h+g\cdot \{f,h\}=D_{f}(g)\cdot h+g\cdot D_{f}(h).}

Falls ${\displaystyle A}${\displaystyle A} eine Poisson-Algebra über ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } ist, die zusätzlich eine *-Algebra ist und für ${\displaystyle \{-,-\}}${\displaystyle \{-,-\}} folgendes

${\displaystyle {\overline {\{f,g\}}}=\{{\overline {f}},{\overline {g}}\}}${\displaystyle {\overline {\{f,g\}}}=\{{\overline {f}},{\overline {g}}\}}

erfüllt, so nennt man ${\displaystyle A}${\displaystyle A} eine Poisson-*-Algebra.^[2]

• Sei ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Poisson-Klammer ${\displaystyle \{-,-\}}${\displaystyle \{-,-\}} auf dem Raum der glatten Funktionen ${\displaystyle C^{\infty }(M)}${\displaystyle C^{\infty }(M)}, dann ist das Paar ${\displaystyle (C^{\infty }(M),\{-,-\})}${\displaystyle (C^{\infty }(M),\{-,-\})} eine Poisson-Algebra.

• Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6. 
• Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8. 

• Poisson-Algebra in der Encyclopedia of Mathematics

1. ↑ Chiara Esposito: Formality Theory. Springer Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-09289-8, S. 10–11. 
2. ↑ Stefan Waldmann: Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung. Springer Verlag, 2001, ISBN 978-3-540-72517-6, S. 20. 

• Algebra (Struktur)
• Symplektische Geometrie