Obstruktionstheorie

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt die Obstruktionstheorie oder Hindernistheorie die Hindernisse für die Existenz von Schnitten in Faserbündeln.

Sei ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} eine Faserung über einem Simplizialkomplex ${\displaystyle B}${\displaystyle B} mit Faser ${\displaystyle F}${\displaystyle F}. Wir nehmen an, dass bereits ein Schnitt ${\displaystyle s_{n}\colon B_{n}\rightarrow E}${\displaystyle s_{n}\colon B_{n}\rightarrow E} über dem ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Skelett von ${\displaystyle B}${\displaystyle B} konstruiert wurde und fragen, ob sich dieser Schnitt auf das ${\displaystyle (n+1)}${\displaystyle (n+1)}-Skelett fortsetzen lässt.

Für jeden ${\displaystyle (n+1)}${\displaystyle (n+1)}-Simplex ${\displaystyle \sigma \in B_{n+1}}${\displaystyle \sigma \in B_{n+1}} ist ${\displaystyle p^{-1}(\sigma )}${\displaystyle p^{-1}(\sigma )} homotopieäquivalent zu ${\displaystyle F}${\displaystyle F} und die Abbildung

${\displaystyle s_{n}\mid _{\partial \sigma }\colon S^{n}\simeq \partial \sigma \to p^{-1}(\sigma )\simeq F}${\displaystyle s_{n}\mid _{\partial \sigma }\colon S^{n}\simeq \partial \sigma \to p^{-1}(\sigma )\simeq F}

definiert ein Element der ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-ten Homotopiegruppe der Faser

${\displaystyle o_{n+1}(\sigma )\in \pi _{n}(F)}${\displaystyle o_{n+1}(\sigma )\in \pi _{n}(F)}.

Offensichtlich kann der gegebene Schnitt ${\displaystyle s_{n}\mid _{\partial \sigma }\colon \partial \sigma \to E}${\displaystyle s_{n}\mid _{\partial \sigma }\colon \partial \sigma \to E} nur dann auf ${\displaystyle \sigma }${\displaystyle \sigma } fortgesetzt werden, wenn

${\displaystyle o_{n+1}(\sigma )=0\in \pi _{n}(F)}${\displaystyle o_{n+1}(\sigma )=0\in \pi _{n}(F)}.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle o_{n+1}\colon C_{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)}${\displaystyle o_{n+1}\colon C_{n+1}(B)\to \pi _{n}(F)} ein Kozykel mit lokalen Koeffizienten ist, er wird als Obstruktionskozykel bezeichnet. Seine Kohomologieklasse (in der Kohomologie mit lokalen Koeffizienten)

${\displaystyle o_{n+1}\in H^{n+1}(B,\pi _{n}(F))}${\displaystyle o_{n+1}\in H^{n+1}(B,\pi _{n}(F))}

heißt ${\displaystyle (n+1)}${\displaystyle (n+1)}-te Obstruktionsklasse. Sie hängt zwar vom gewählten Schnitt ${\displaystyle s_{n}}${\displaystyle s_{n}} ab, man kann aber zeigen, dass sie tatsächlich nur von seiner Einschränkung auf das ${\displaystyle (n-1)}${\displaystyle (n-1)}-Skelett abhängig ist.

Die wichtigste Anwendung der Obstruktionstheorie ist auf die Frage nach der Existenz von ${\displaystyle k}${\displaystyle k} linear unabhängigen Schnitten in einem Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle n}${\displaystyle n}, für ${\displaystyle 1\leq k\leq n}${\displaystyle 1\leq k\leq n}, oder äquivalent nach der Existenz eines Schnittes im ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Rahmenbündel

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to V_{k}(E)\to B}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to V_{k}(E)\to B},

dessen Faser die Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})} ist.

Wegen ${\displaystyle \pi _{i}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))=0}${\displaystyle \pi _{i}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))=0} für ${\displaystyle 0\leq i\leq n-k-1}${\displaystyle 0\leq i\leq n-k-1} kann man einen solchen Schnitt auf dem ${\displaystyle (n-k)}${\displaystyle (n-k)}-Skelett ${\displaystyle B_{n-k}}${\displaystyle B_{n-k}} konstruieren, das Hindernis für die Fortsetzung auf das ${\displaystyle (n-k+1)}${\displaystyle (n-k+1)}-Skelett ist dann die oben definierte Obstruktionsklasse

${\displaystyle o_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))).}${\displaystyle o_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))).}

Die Stiefel-Whitney-Klassen wurden von Stiefel und Whitney ursprünglich als Obstruktionsklassen definiert. Die Homotopiegruppe ${\displaystyle \pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))}${\displaystyle \pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))} ist entweder isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } (falls ${\displaystyle k>1}${\displaystyle k>1} und ${\displaystyle n-k+1}${\displaystyle n-k+1} gerade ist) oder sonst unendlich zyklisch, kann also in jedem Fall surjektiv auf ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } abgebildet werden. Das Bild der Obstruktionsklasse unter dieser Abbildung ist die Stiefel-Whitney-Klasse

${\displaystyle w_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}${\displaystyle w_{n-k+1}(E)\in H^{n-k+1}(B,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}.

Für ${\displaystyle k=1}${\displaystyle k=1} ist ${\displaystyle \pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))=\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))=\pi _{n-1}(S^{n})=\mathbb {Z} }${\displaystyle \pi _{n-k}(V_{k}(\mathbb {R} ^{n}))=\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))=\pi _{n-1}(S^{n})=\mathbb {Z} }, für orientierbare Vektorbündel ist die Kohomologie mit lokalen Koeffizienten ${\displaystyle H^{n}(B,\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n})))}${\displaystyle H^{n}(B,\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n})))} isomorph zu ${\displaystyle H^{n}(B,\mathbb {Z} )}${\displaystyle H^{n}(B,\mathbb {Z} )} und die so definierte Obstruktionsklasse ist die Euler-Klasse

${\displaystyle e(E)\in H^{n}(B,\mathbb {Z} )}${\displaystyle e(E)\in H^{n}(B,\mathbb {Z} )}.

Analog kann man die Euler-Klasse für beliebige Sphärenbündel, also für Faserbündel mit Faser ${\displaystyle S^{n-1}}${\displaystyle S^{n-1}} definieren: wegen ${\displaystyle \pi _{i}(S^{n-1})=0}${\displaystyle \pi _{i}(S^{n-1})=0} für ${\displaystyle 0<i<n-1}${\displaystyle 0<i<n-1} gibt es einen Schnitt auf dem ${\displaystyle (n-1)}${\displaystyle (n-1)}-Skelett der Basis und die Obstruktion für die Fortsetzung auf das ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Skelett ist die Euler-Klasse

${\displaystyle e(E)\in H^{n}(B,\mathbb {Z} )}${\displaystyle e(E)\in H^{n}(B,\mathbb {Z} )}.

(Im Falle des Einheitssphärenbündels eines orientierten Vektorbündels stimmt die Euler-Klasse des Sphärenbündels mit der Euler-Klasse des Vektorbündels überein.)

• Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. (= Princeton Mathematical Series. vol. 14). Princeton University Press, Princeton, N. J. 1951 (Kapitel 25, 35, 38)
• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies. No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 12)
• George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory. (= Graduate Texts in Mathematics. 61). Springer Verlag, 1978, ISBN 1-4612-6320-4.

• Algebraische Topologie