Stiefel-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel, die Orthonormalbasen der Unterräume eines Vektorraumes.

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} } oder ${\displaystyle \mathbb {H} }${\displaystyle \mathbb {H} } der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}} ein ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionaler ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} }-Vektorraum. Sei ${\displaystyle 0\leq k\leq n}${\displaystyle 0\leq k\leq n}.

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})} definiert als Menge aller ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Tupel orthonormaler Vektoren.

Die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit wird definiert als Menge der ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Tupel linear unabhängiger Vektoren. Die Inklusion von ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})} in die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine Homotopieäquivalenz.

Die Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )}${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )} wirkt transitiv auf der nichtkompakten Stiefel-Mannigfaltigkeit mit Stabilisator ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {K} )}${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {K} )}, man erhält also eine Bijektion mit

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )/\operatorname {GL} (k,\mathbb {K} )}${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )/\operatorname {GL} (k,\mathbb {K} )}.

Auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})} wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \operatorname {O} (n)/\operatorname {O} (n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \operatorname {U} (n)/\operatorname {U} (n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \operatorname {Sp} (n)/\operatorname {Sp} (n-k).\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \operatorname {O} (n)/\operatorname {O} (n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \operatorname {U} (n)/\operatorname {U} (n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \operatorname {Sp} (n)/\operatorname {Sp} (n-k).\end{aligned}}}

Man benutzt die obigen Bijektionen, um auf ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})} eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})} zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)}${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)}

${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})=2nk-k^{2}}${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})=2nk-k^{2}}

${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})=4nk-k(2k-1).}${\displaystyle \dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})=4nk-k(2k-1).}

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})} mit einem Unterraum von ${\displaystyle \mathbb {K} ^{nk}}${\displaystyle \mathbb {K} ^{nk}}.

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle G_{k}(\mathbb {K} ^{n})}${\displaystyle G_{k}(\mathbb {K} ^{n})} ist die Menge der ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-dimensionalen Untervektorräume des ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}.

Jedem ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})\rightarrow G_{k}(\mathbb {K} ^{n})}${\displaystyle V_{k}(\mathbb {K} ^{n})\rightarrow G_{k}(\mathbb {K} ^{n})}.

Die so definierten Projektionen sind Prinzipalbündel

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\operatorname {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\operatorname {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n}).\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\operatorname {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\operatorname {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n}).\end{aligned}}}

Der Graph-Homomorphismen-Komplex ${\displaystyle \operatorname {Hom} (C_{5},K_{n})}${\displaystyle \operatorname {Hom} (C_{5},K_{n})} ist homöomorph zur Stiefel-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{n-1})}${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{n-1})} (Csorba-Vermutung, bewiesen von Schultz).^[1]

Die Stiefel-C-Mannigfaltigkeit ist eine leichte Verallgemeinerung der Stiefel-Mannigfaltigkeit und definiert als

${\displaystyle S(C)=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=C,\;p\leq n\},}${\displaystyle S(C)=\{X\in \mathbb {R} ^{n\times p}\colon X'X=C,\;p\leq n\},}

wobei ${\displaystyle C}${\displaystyle C} eine positiv definite ${\displaystyle p\times p}${\displaystyle p\times p}-Matrix ist.^[2]

• Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit

1. ↑ Small models of graph colouring manifolds and the Stiefel manifold Hom(C₅,K_n) pdf
2. ↑ Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676. 

• Differentialtopologie