Faserung

Der Begriff der Faserung verallgemeinert den Begriff eines Faserbündels und spielt in der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Rolle.

Anwendung finden Faserungen zum Beispiel in Postnikow-Systemen oder der Obstruktionstheorie.

In diesem Artikel sind alle Abbildungen stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen.

Eine Abbildung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für einen Raum ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, falls:

• für jede Homotopie ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B} und
• für jede Abbildung (auch Lift genannt) ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E,}${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E,} die ${\displaystyle h_{0}=h|_{X\times {0}}}${\displaystyle h_{0}=h|_{X\times {0}}} hochhebt (bzw. liftet) (d. h. ${\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}}${\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}}),

existiert eine Homotopie ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E,}${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E,} die ${\displaystyle h}${\displaystyle h} hochhebt (d. h. ${\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}}${\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}}) mit ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times {0}}.}${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times {0}}.}

Das folgende kommutative Diagramm zeigt die Situation:${\displaystyle ^{[4]S.66}}${\displaystyle ^{[4]S.66}}

Eine Faserung (oder auch Hurewicz-Faserung) ist eine Abbildung ${\displaystyle p\colon E\to B,}${\displaystyle p\colon E\to B,} welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume ${\displaystyle X}${\displaystyle X} erfüllt. Der Raum ${\displaystyle B}${\displaystyle B} wird Basisraum und der Raum ${\displaystyle E}${\displaystyle E} wird Totalraum genannt. Als Faser über ${\displaystyle b\in B}${\displaystyle b\in B} bezeichnet man den Unterraum ${\displaystyle p^{-1}(b)=F_{b}\subseteq E.}${\displaystyle p^{-1}(b)=F_{b}\subseteq E.}${\displaystyle ^{[4]S.66}}${\displaystyle ^{[4]S.66}}

Eine Serre-Faserung (auch schwache Faserung genannt) ist eine Abbildung ${\displaystyle p\colon E\to B,}${\displaystyle p\colon E\to B,} welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe erfüllt.${\displaystyle ^{[1]S.375-376}}${\displaystyle ^{[1]S.375-376}}

Jede Hurewicz-Faserung ist eine Serre-Faserung.

Eine Abbildung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} wird Quasifaserung genannt, falls für jedes ${\displaystyle b\in B,}${\displaystyle b\in B,} ${\displaystyle e\in p^{-1}(b)}${\displaystyle e\in p^{-1}(b)} and ${\displaystyle i\geq 0}${\displaystyle i\geq 0} gilt, dass die induzierte Abbildung ${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)}${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)} ein Isomorphismus ist.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung.${\displaystyle ^{[5]S.241-242}}${\displaystyle ^{[5]S.241-242}}

• Die Projektion auf den ersten Faktor ${\displaystyle p\colon B\times F\to B}${\displaystyle p\colon B\times F\to B} ist eine Faserung.
• Jede Überlagerung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für jeden Raum ${\displaystyle X.}${\displaystyle X.} Speziell gibt es für jede Homotopie ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B} und jeden Lift ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E} einen eindeutig definierten Lift ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\to B}${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\to B} mit ${\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}${\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}${\displaystyle ^{[2]S.159}}${\displaystyle ^{[2]S.159}}${\displaystyle ^{[3]S.50}}${\displaystyle ^{[3]S.50}}
• Faserbündel ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} erfüllen die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe.${\displaystyle ^{[1]S.379}}${\displaystyle ^{[1]S.379}}
• Ein Faserbündel mit parakompaktem Hausdorff Basisraum erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume.${\displaystyle ^{[1]S.379}}${\displaystyle ^{[1]S.379}}
• Eine Faserung, welche kein Faserbündel ist, ist die von der Inklusion ${\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}}${\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}} induzierte Abbildung ${\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}},}${\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}},} wobei ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,} ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ein topologischer Raum und ${\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}}${\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}} der Raum aller stetigen Abbildungen mit der Kompakt-Offen-Topologie ist.${\displaystyle ^{[2]S.198}}${\displaystyle ^{[2]S.198}}
• Die Hopf-Faserung ${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}} ist ein nicht triviales Faserbündel und speziell eine Serre-Faserung.

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}} zwischen Totalräumen von zwei Faserungen ${\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B}${\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B} und ${\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B}${\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B} mit gleichem Basisraum ist ein Faserungs-Homomorphismus, falls das Diagramm

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kommutiert. Die Abbildung ${\displaystyle f}${\displaystyle f} ist eine Faser-Homotopieäquivalenz, falls zusätzlich ein Faserungs-Homomorphismus ${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}}${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}} existiert, sodass die Verknüpfungen ${\displaystyle f\circ g}${\displaystyle f\circ g} bzw. ${\displaystyle g\circ f}${\displaystyle g\circ f} homotop, durch Faserungs-Homomorphismen, zu den Identitäten ${\displaystyle Id_{E_{2}}}${\displaystyle Id_{E_{2}}} bzw. ${\displaystyle Id_{E_{1}}}${\displaystyle Id_{E_{1}}}sind.^[1]

Gegeben seien eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} und eine Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B}${\displaystyle f\colon A\to B}. Die Abbildung ${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A} ist eine Faserung, wobei ${\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}}${\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}} der Pullback ist und die Projektionen von ${\displaystyle f^{*}(E)}${\displaystyle f^{*}(E)} auf ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und ${\displaystyle E}${\displaystyle E} das kommutative Diagramm liefern:

Die Faserung ${\displaystyle p_{f}}${\displaystyle p_{f}} wird Pullback-Faserung oder auch induzierte Faserung genannt.^[1]

Mit der Wegeraumkonstruktion kann jede stetige Abbildung zu einer Faserung erweitert werden, indem man den Definitionsbereich der Abbildung zu einem homotopieäquivalenten Raum vergrößert. Diese Faserung wird dann Wegeraum-Faserung genannt.

Der Totalraum ${\displaystyle E_{f}}${\displaystyle E_{f}} der Wegeraum-Faserung für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B}${\displaystyle f\colon A\to B} zwischen topologischen Räumen besteht aus Paaren ${\displaystyle (a,\gamma )}${\displaystyle (a,\gamma )} mit ${\displaystyle a\in A}${\displaystyle a\in A} und Wegen ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}${\displaystyle \gamma \colon I\to B} mit Startpunkt ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)~}${\displaystyle \gamma (0)=f(a)~}, wobei ${\displaystyle I=[0,1]}${\displaystyle I=[0,1]} das Einheitsintervall ist. Der Raum ${\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}}${\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}} trägt die Teilraumtopologie von ${\displaystyle A\times B^{I},}${\displaystyle A\times B^{I},} wobei ${\displaystyle B^{I}}${\displaystyle B^{I}} den Raum aller Abbildungen ${\displaystyle I\to B}${\displaystyle I\to B} beschreibt und die Kompakt-Offen-Topologie trägt.

Die Wegeraum-Faserung ist durch die Abbildung ${\displaystyle p\colon E_{f}\to B}${\displaystyle p\colon E_{f}\to B} mit der Abbildungsvorschrift ${\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1)}${\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1)} gegeben. Die Faser ${\displaystyle F_{f}}${\displaystyle F_{f}} wird auch Homotopie-Faser von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} genannt und besteht aus den Paaren ${\displaystyle (a,\gamma )}${\displaystyle (a,\gamma )} mit ${\displaystyle a\in A}${\displaystyle a\in A} und Wegen ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to B,}${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to B,} wobei ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}${\displaystyle \gamma (0)=f(a)} und ${\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B}${\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B} gilt.

Für den Spezialfall der Inklusion des Basispunktes ${\displaystyle i\colon b_{0}\to B,}${\displaystyle i\colon b_{0}\to B,} ergibt sich ein wichtiges Beispiel der Wegeraum-Faserung. Der Totalraum ${\displaystyle E_{i}}${\displaystyle E_{i}} besteht aus allen Wegen in ${\displaystyle B,}${\displaystyle B,} die am Punkt ${\displaystyle b_{0}}${\displaystyle b_{0}} starten. Dieser Raum wird mit ${\displaystyle PB}${\displaystyle PB} gekennzeichnet und Wegeraum genannt. Die Wege-Faserung ${\displaystyle p\colon PB\to B}${\displaystyle p\colon PB\to B} ordnet jedem Weg seinen Endpunkt zu, weshalb die Faser ${\displaystyle p^{-1}(b_{0})}${\displaystyle p^{-1}(b_{0})} aus allen geschlossenen Wegen besteht. Die Faser wird mit ${\displaystyle \Omega B}${\displaystyle \Omega B} gekennzeichnet und Schleifenraum genannt.${\displaystyle ^{[1]S.407-408}}${\displaystyle ^{[1]S.407-408}}

• Die Fasern ${\displaystyle p^{-1}(b)}${\displaystyle p^{-1}(b)} über ${\displaystyle b\in B}${\displaystyle b\in B} sind für die einzelnen Wegzusammenhangskomponenten von ${\displaystyle B}${\displaystyle B} homotopieäquivalent.${\displaystyle ^{[1]S.405}}${\displaystyle ^{[1]S.405}}
• Für eine Homotopie ${\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B}${\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B} sind die Pullback Faserungen ${\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A}${\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A} und ${\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A}${\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A} Faser homotopieäquivalent.${\displaystyle ^{[1]S.406}}${\displaystyle ^{[1]S.406}}
• Ist der Basisraum ${\displaystyle B}${\displaystyle B} zusammenziehbar, dann ist ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} Faser homotopieäquivalent zu einer Produkt Faserung ${\displaystyle B\times F\to B.}${\displaystyle B\times F\to B.}${\displaystyle ^{[1]S.406}}${\displaystyle ^{[1]S.406}}
• Die Wegeraum-Faserung von ${\displaystyle p}${\displaystyle p} ist sich selbst sehr ähnlich. Genauer gilt: Die Inklusion ${\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}}${\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}} ist eine Faser-Homotopieäquivalenz.${\displaystyle ^{[1]S.408}}${\displaystyle ^{[1]S.408}}
• Ist der Totalraum ${\displaystyle E}${\displaystyle E} zusammenziehbar, dann gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz ${\displaystyle F\to \Omega B.}${\displaystyle F\to \Omega B.}${\displaystyle ^{[1]S.408}}${\displaystyle ^{[1]S.408}}

Für eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser ${\displaystyle F}${\displaystyle F} und Basispunkt ${\displaystyle b_{0}\in B}${\displaystyle b_{0}\in B} ist die Inklusion ${\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}}${\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}} der Faser in die Homotopie-Faser eine Homotopieäquivalenz. Die Abbildung ${\displaystyle i\colon F_{p}\to E}${\displaystyle i\colon F_{p}\to E} mit ${\displaystyle i(e,\gamma )=e,}${\displaystyle i(e,\gamma )=e,} wobei ${\displaystyle e\in E}${\displaystyle e\in E} und ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}${\displaystyle \gamma \colon I\to B} ein Weg von ${\displaystyle p(e)}${\displaystyle p(e)} nach ${\displaystyle b_{0}}${\displaystyle b_{0}} im Basisraum sind, ist eine Faserung. Sie ist die Pullback-Faserung der Wege-Faserung ${\displaystyle PB\to B.}${\displaystyle PB\to B.} Dieses Vorgehen kann nun wieder auf die Faserung ${\displaystyle i}${\displaystyle i} angewandt und iteriert werden. Dies führt zu einer langen Sequenz:

${\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}${\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}

Die Faser von ${\displaystyle i}${\displaystyle i} über einem Punkt ${\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})}${\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})} besteht aus genau den Paaren ${\displaystyle (e_{0},\gamma )}${\displaystyle (e_{0},\gamma )} mit geschlossenen Wegen ${\displaystyle \gamma }${\displaystyle \gamma } und Startpunkt ${\displaystyle b_{0}}${\displaystyle b_{0}}, also dem Schleifenraum ${\displaystyle \Omega B.}${\displaystyle \Omega B.} Die Inklusion ${\displaystyle \Omega B\to F}${\displaystyle \Omega B\to F} ist eine Homotopieäquivalenz und durch Iteration ergibt sich die Sequenz:

${\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}${\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}

Durch die Dualität von Faserung und Kofaserung existiert auch eine Sequenz von Kofaserungen. Diese beiden Sequenzen sind unter dem Namen Puppe-Sequenzen oder auch Sequenz von Faserungen bzw. Kofaserungen bekannt.${\displaystyle ^{[1]S.407-409}}${\displaystyle ^{[1]S.407-409}}

Eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser ${\displaystyle F}${\displaystyle F} wird Hauptfaserung genannt, falls ein kommutatives Diagramm existiert:

Die untere Zeile ist eine Sequenz von Faserungen und die vertikalen Abbildungen sind schwache Homotopieäquivalenzen. Hauptfaserungen spielen eine wichtige Rolle bei Postnikow-Türmen.${\displaystyle ^{[1]p.412}}${\displaystyle ^{[1]p.412}}

Für eine Serre-Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen. Für Basispunkte ${\displaystyle b_{0}\in B}${\displaystyle b_{0}\in B} und ${\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})}${\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})} ist diese gegeben durch:

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}

Die Homomorphismen ${\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})}${\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})} und ${\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})}${\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})} sind die induzierten Homomorphismen der Inklusion ${\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E}${\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E} und der Projektion ${\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}${\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}${\displaystyle ^{[1]S.376}}${\displaystyle ^{[1]S.376}}

Unter den Hopf-Faserungen versteht man eine Familie von Faserbündeln, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}

Die lange exakte Homotopiesequenz der Hopf-Faserung ${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}} liefert:

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}

Die Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen, da die Faser ${\displaystyle S^{1}}${\displaystyle S^{1}} in ${\displaystyle S^{3}}${\displaystyle S^{3}} zu einem Punkt zusammengezogen werden kann:

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}

Diese kurze exakte Sequenz zerfällt wegen des Einhängungshomomorphismus ${\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})~}${\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})~}und es gibt Isomorphismen:

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}

Die Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})}${\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})} sind für ${\displaystyle i\geq 3}${\displaystyle i\geq 3} trivial, weshalb es Isomorphismen zwischen ${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})}${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})} und ${\displaystyle \pi _{i}(S^{3})}${\displaystyle \pi _{i}(S^{3})} ab ${\displaystyle i=3}${\displaystyle i=3} gibt. Analog kann die Faser ${\displaystyle S^{3}}${\displaystyle S^{3}} in ${\displaystyle S^{7}}${\displaystyle S^{7}} und die Faser ${\displaystyle S^{7}}${\displaystyle S^{7}} in ${\displaystyle S^{15}}${\displaystyle S^{15}} zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die kurzen exakten Sequenzen zerfallen weiter, wodurch es Familien von Isomorphismen gibt:

${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})}${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})} und ${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}${\displaystyle ^{[6]S.111}}${\displaystyle ^{[6]S.111}}

Spektralsequenzen sind wichtige Hilfsmittel in der algebraischen Topologie zur Berechnung von (Ko-)Homologiegruppen.

Die Leray-Serre-Spektralsequenz stellt einen Zusammenhang zwischen der (Ko-)Homologie von Totalraum und Faser mit der (Ko-)Homologie des Basisraums einer Faserung her. Für eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser ${\displaystyle F}${\displaystyle F}, wobei der Basisraum ein wegzusammenhängender CW-Komplex ist, und einer additiven Homologietheorie ${\displaystyle G_{*}}${\displaystyle G_{*}} existiert eine Spektralsequenz:

${\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}${\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}${\displaystyle ^{[7]S.242}}${\displaystyle ^{[7]S.242}}

Faserungen liefern in der Homologie keine langen exakten Sequenzen, wie in der Homotopie. Aber unter bestimmten Bedingungen, liefern Faserungen exakte Sequenzen in der Homologie. Für eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser ${\displaystyle F}${\displaystyle F}, wobei Basisraum und Faser wegzusammenhängend sind, die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(B)}${\displaystyle \pi _{1}(B)} auf ${\displaystyle H_{*}(F)}${\displaystyle H_{*}(F)} trivial operiert und zusätzlich die Bedingungen ${\displaystyle H_{p}(B)=0}${\displaystyle H_{p}(B)=0} für ${\displaystyle 0<p<m}${\displaystyle 0<p<m} und ${\displaystyle H_{q}(F)=0}${\displaystyle H_{q}(F)=0} für ${\displaystyle 0<q<n}${\displaystyle 0<q<n} gelten, existiert eine exakte Sequenz:

${\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}${\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}${\displaystyle ^{[7]S.250}}${\displaystyle ^{[7]S.250}}

Diese Sequenz kann z. B. benutzt werden, um den Satz von Hurewicz zu beweisen oder um die Homologiegruppen von Schleifenräumen der Form ${\displaystyle \Omega S^{n}}${\displaystyle \Omega S^{n}} zu berechnen:

${\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\0円&sonst\end{cases}}.}${\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\0円&sonst\end{cases}}.}${\displaystyle ^{[8]S.162}}${\displaystyle ^{[8]S.162}}

Für den Spezialfall einer Faserung ${\displaystyle p\colon E\to S^{n},}${\displaystyle p\colon E\to S^{n},} bei welcher der Basisraum eine ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Sphäre mit Faser ${\displaystyle F}${\displaystyle F} ist, existieren exakte Sequenzen (auch Wang Sequenzen genannt) für Homologie und Kohomologie:

${\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }${\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }

${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }${\displaystyle ^{[4]S.456}}${\displaystyle ^{[4]S.456}}

Für eine Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser ${\displaystyle F}${\displaystyle F} und einem festen kommutativen Ring ${\displaystyle R}${\displaystyle R} mit Eins existiert ein kontravarianter Funktor von dem Fundamentalgruppoid von ${\displaystyle B}${\displaystyle B} zur Kategorie von graduierten ${\displaystyle R}${\displaystyle R}-Moduln, welcher jedem ${\displaystyle b\in B}${\displaystyle b\in B} den Modul ${\displaystyle H_{*}(F_{b},R)}${\displaystyle H_{*}(F_{b},R)} und der Wegeklasse ${\displaystyle [\omega ]}${\displaystyle [\omega ]} den Homomorphismus ${\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R)}${\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R)} zuordnet, wobei ${\displaystyle h[\omega ]}${\displaystyle h[\omega ]} eine Homotopieklasse in ${\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}]}${\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}]} ist.

Eine Faserung wird orientierbar über ${\displaystyle R}${\displaystyle R} genannt, falls für jeden geschlossenen Weg ${\displaystyle \omega }${\displaystyle \omega } in ${\displaystyle B}${\displaystyle B} gilt: ${\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.}${\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.}${\displaystyle ^{[4]S.476}}${\displaystyle ^{[4]S.476}}

Für eine über einem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} } orientierbare Faserung ${\displaystyle p\colon E\to B}${\displaystyle p\colon E\to B} mit Faser ${\displaystyle F}${\displaystyle F} und wegzusammenhängendem Basisraum ist die Euler-Charakteristik des Totalraums definiert durch:

${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}

Die Euler-Charakteristiken des Basisraums und der Faser sind dabei über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }${\displaystyle \mathbb {K} } definiert.${\displaystyle ^{[4]S.481}}${\displaystyle ^{[4]S.481}}

• [1] Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, NY 2001, ISBN 0-521-79160-X. 
• [2] Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-45952-2, doi:10.1007/978-3-662-45953-9 . 
• [3] J.P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. 
• [4] Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-94426-5, doi:10.1007/978-1-4684-9322-1 . 
• [5] Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und Unendlich Symmetrische Produkte. Annals of Mathematics, 1958, doi:10.2307/1970005 . 
• [6] Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton NJ 1951, ISBN 0-691-08055-0. 
• [7] James F. Davis, Paul Kirk: Lecture Notes in Algebraic Topology. 1991. 
• [8] Ralph L. Cohen: The Topology of Fiber Bundles Lecture Notes. August 1998. 

1. ↑ ^{a b} Allen Hatcher: Algebraic topology. 14th printing 2015 Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2015, ISBN 978-0-521-79160-1, S. 405–406. 

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Kategorie:

• Homotopietheorie