Kofaserung

In der Mathematik sind Kofaserungen ein wichtiger Begriff der algebraischen Topologie.

Eine stetige Abbildung ${\displaystyle i\colon A\to X}${\displaystyle i\colon A\to X} ist eine Kofaserung, wenn sie die Homotopieerweiterungseigenschaft erfüllt, d. h. wenn es zu stetigen Abbildungen

${\displaystyle f\colon X\to Y,h\colon A\times \left[0,1\right]\to Y}${\displaystyle f\colon X\to Y,h\colon A\times \left[0,1\right]\to Y}

mit

${\displaystyle f\circ i=h\circ i_{0}}${\displaystyle f\circ i=h\circ i_{0}}

(für die durch ${\displaystyle i_{0}(x)=(x,0)}${\displaystyle i_{0}(x)=(x,0)} definierte Inklusive ${\displaystyle i_{0}\colon A\to A\times \left[0,1\right]}${\displaystyle i_{0}\colon A\to A\times \left[0,1\right]}) immer eine stetige Abbildung

${\displaystyle {\overline {h}}\colon X\times \left[0,1\right]\to Y}${\displaystyle {\overline {h}}\colon X\times \left[0,1\right]\to Y}

mit

${\displaystyle {\overline {h}}\circ (i\times id)=h}${\displaystyle {\overline {h}}\circ (i\times id)=h}

und

${\displaystyle {\overline {h}}|_{X\times \{0\}}=f\circ \pi _{X}}${\displaystyle {\overline {h}}|_{X\times \{0\}}=f\circ \pi _{X}}

(für die natürliche Projektion ${\displaystyle \pi _{X}:X\times \{0\}\to X}${\displaystyle \pi _{X}:X\times \{0\}\to X}) gibt.

Falls ${\displaystyle i\colon A\to X}${\displaystyle i\colon A\to X} die Inklusion eines Unterraumes ${\displaystyle A\subset X}${\displaystyle A\subset X} ist, dann ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Retraktion

${\displaystyle p\colon X\times \left[0,1\right]\to A\times \left[0,1\right]\cup X\times \left\{0\right\}}${\displaystyle p\colon X\times \left[0,1\right]\to A\times \left[0,1\right]\cup X\times \left\{0\right\}}

gibt.

• Die Inklusion

${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}

ist eine Kofaserung.

• Für jeden CW-Komplex ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und alle ${\displaystyle m\leq n}${\displaystyle m\leq n} ist die Inklusion

${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}

des m-Skeletts in das n-Skelett eine Kofaserung. Insbesondere sind CW-Komplexe kofibrant.

Die Homotopie-Kofaser einer (beliebigen) stetigen Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to X}${\displaystyle f\colon A\to X} ist ihr Abbildungskegel ${\displaystyle C_{f}}${\displaystyle C_{f}}. Für jede verallgemeinerte Homologietheorie ${\displaystyle H_{*}}${\displaystyle H_{*}} hat man eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \to H_{*+1}(C_{f})\to H_{*}(A)\to H_{*}(X)\to H_{*}(C_{f})\to H_{*-1}(A)\to \ldots }${\displaystyle \ldots \to H_{*+1}(C_{f})\to H_{*}(A)\to H_{*}(X)\to H_{*}(C_{f})\to H_{*-1}(A)\to \ldots }

Falls die Abbildung ${\displaystyle f}${\displaystyle f} eine Kofaserung ist, bezeichnet man die Homotopie-Kofaser ${\displaystyle C_{f}}${\displaystyle C_{f}} als Kofaser.

Wenn eine Inklusion ${\displaystyle f\colon A\to X}${\displaystyle f\colon A\to X} eine Kofaserung ist, dann ist die Kofaser ${\displaystyle C_{f}}${\displaystyle C_{f}} Homotopie-äquivalent zum Quotientenraum ${\displaystyle X/A}${\displaystyle X/A} und es gilt

${\displaystyle H_{*}(X,A)=H_{*}(C_{f})=H_{*}(X/A)}${\displaystyle H_{*}(X,A)=H_{*}(C_{f})=H_{*}(X/A)}.

• Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4

• Homotopietheorie