σ-Ring

Ein σ-Ring oder auch σ-Mengenring ist ein spezielles Mengensystem, das eine wichtige Rolle in der Maßtheorie spielt. Ein σ-Ring ist ein σ-vereinigungsstabiles Mengensystem, das zusätzlich abgeschlossen bezüglich Differenzbildung ist.

Sei ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } eine beliebige Menge. Ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}} auf ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, also eine Menge von Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, heißt σ-Ring (über ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {R}}}${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {R}}}: Der σ-Ring enthält die leere Menge.
2. ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...\in {\mathcal {R}}\Rightarrow \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {R}}}${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...\in {\mathcal {R}}\Rightarrow \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {R}}} (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich abzählbaren Vereinigungen).
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {R}}}${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {R}}} (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

• Einfaches Beispiel für einen σ-Ring ist ${\displaystyle \{\emptyset \}}${\displaystyle \{\emptyset \}}, sie ist der kleinst mögliche σ-Ring.

• Ein weiteres Beispiel ist die Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}, sie ist der größt mögliche σ-Ring über einer gegebenen Menge ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }.

• Ist nun ${\displaystyle {\mathcal {S}}}${\displaystyle {\mathcal {S}}} ein beliebiges Mengensystem über der Menge ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, so ist

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathcal {S}}:=\bigcap _{\scriptstyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {R}}' \atop {\scriptstyle {\mathcal {R}}'{\text{ ist σ-Ring}} \atop \scriptstyle {\text{über }}\Omega }}{\mathcal {R}}'}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathcal {S}}:=\bigcap _{\scriptstyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {R}}' \atop {\scriptstyle {\mathcal {R}}'{\text{ ist σ-Ring}} \atop \scriptstyle {\text{über }}\Omega }}{\mathcal {R}}'}

der von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}${\displaystyle {\mathcal {S}}} erzeugte σ-Ring. Er ist der kleinste σ-Ring über ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, der ${\displaystyle {\mathcal {S}}}${\displaystyle {\mathcal {S}}} enthält.

• Das System aller abzählbaren Teilmengen einer Grundmenge ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, also das Mengensystem

${\displaystyle \{A\subseteq \Omega \mid A{\text{ ist endlich oder abzählbar unendlich }}\}}${\displaystyle \{A\subseteq \Omega \mid A{\text{ ist endlich oder abzählbar unendlich }}\}},

ist ein σ-Ring über ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }. Bei überabzählbarer Grundmenge ist dieses System keine σ-Algebra.

In einem σ-Ring sind abzählbare Durchschnitte wieder im σ-Ring enthalten, denn es gilt

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\setminus \bigcup _{i=2}^{\infty }(A_{1}\setminus A_{i})}${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\setminus \bigcup _{i=2}^{\infty }(A_{1}\setminus A_{i})}

für jede Folge ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }} im σ-Ring.

Damit sind auch endliche Schnitte und Vereinigungen im σ-Ring enthalten. Ebenso ist für jede Mengenfolge ${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (A_{i})_{i\in \mathbb {N} }} im σ-Ring ${\displaystyle {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}} auch wieder Limes superior und Limes inferior der Mengenfolge wieder in ${\displaystyle {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}}:

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}\;}${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}\;} und ${\displaystyle \;\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}${\displaystyle \;\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}.

Des Weiteren lässt sich jede abzählbare Vereinigung von beliebigen Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}} als abzählbare Vereinigung von disjunkten Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}} schreiben. Dies ist insbesondere für die Untersuchung von Mengenfunktionen auf σ-Additivität wichtig.

Der Durchschnitt ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}} zweier σ-Ringe ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}} und ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}} über ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } ist stets wieder ein σ-Ring. Denn sind ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}}, so ist

• ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{1}}${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{1}}, da ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{1}}${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{1}}, sowie
• ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{2}}, da ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{2}}.

Somit ist auch ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}}, der Durchschnitt der σ-Ringe ist also differenzstabil. Die Stabilität bezüglich der abzählbaren Vereinigungen folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von σ-Ringen über ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser σ-Ringe ausweiten lässt. Somit gilt: Ist ${\displaystyle I}${\displaystyle I} eine beliebige Indexmenge und sind ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{i}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{i}} für alle ${\displaystyle i\in I}${\displaystyle i\in I} σ-Ringe über derselben Grundmenge ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, so ist der Schnitt aller dieser σ-Ringe wieder ein σ-Ring ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{I}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{I}} über ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{I}:=\bigcap _{i\in I}{\mathcal {R}}_{i}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{I}:=\bigcap _{i\in I}{\mathcal {R}}_{i}}.

Die Vereinigung ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cup {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cup {\mathcal {R}}_{2}} zweier σ-Ringe ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}} und ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}} über ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } ist im Allgemeinen kein σ-Ring mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden σ-Ringe

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}=\{\emptyset ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}=\{\emptyset ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}

sowie

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}=\{\emptyset ,\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}=\{\emptyset ,\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}}

über ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3\}}${\displaystyle \Omega =\{1,2,3\}}, so ist

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cup {\mathcal {R}}_{2}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cup {\mathcal {R}}_{2}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}.

Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil, da es ${\displaystyle \{1\}\cup \{2\}=\{1,2\}}${\displaystyle \{1\}\cup \{2\}=\{1,2\}} nicht enthält, und somit auch kein σ-Ring.

Sind ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}} und ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}} σ-Ringe über ${\displaystyle \Omega _{1}}${\displaystyle \Omega _{1}} bzw. ${\displaystyle \Omega _{2}}${\displaystyle \Omega _{2}}, so ist das Produkt ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\times {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\times {\mathcal {R}}_{2}} von ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}} und ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}} im Allgemeinen kein σ-Ring (über ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}) mehr. Denn betrachtet man den σ-Ring

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}${\displaystyle {\mathcal {R}}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}},

über ${\displaystyle \Omega =\{1,2\}}${\displaystyle \Omega =\{1,2\}}, so enthält das Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}} sowohl die Mengen

${\displaystyle A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}}${\displaystyle A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}} als auch ${\displaystyle B=\{2\}\times \{2\}=\{(2,2)\}}${\displaystyle B=\{2\}\times \{2\}=\{(2,2)\}}.

Die Menge

${\displaystyle A\setminus B=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}}${\displaystyle A\setminus B=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}}

ist jedoch nicht in ${\displaystyle {\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}} enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}} darstellen lässt. Das Produkt ist somit nicht differenzstabil und damit auch kein σ-Ring.

Die Spur eines σ-Ringes ${\displaystyle {\mathcal {R}}}${\displaystyle {\mathcal {R}}} bezüglich einer Menge ${\displaystyle U}${\displaystyle U}, also das Mengensystem

${\displaystyle {\mathcal {R}}|_{U}:=\{A\cap U\mid A\in {\mathcal {R}}\}}${\displaystyle {\mathcal {R}}|_{U}:=\{A\cap U\mid A\in {\mathcal {R}}\}}

ist immer ein σ-Ring, unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle U}${\displaystyle U}.

Ein σ-Ring, der die Grundmenge ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } enthält, ist eine σ-Algebra (und damit auch eine Algebra). Somit ist jede σ-Algebra ein σ-Ring, die Umkehrung ist aber im Allgemeinen falsch. Beispiel für einen σ-Ring, der keine σ-Algebra ist, ist der im obigen Abschnitt Beispiele zuletzt genannte σ-Ring.

Jeder σ-Ring ist ein Ring und damit auch ein Halbring und ein Mengenverband. Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht. Beispiel eines Ringes, der kein σ-Ring ist, wäre das Mengensystem aller endlichen Teilmengen bei einer abzählbar unendlichen Grundmenge.

Jeder σ-Ring ist auch immer ein δ-Ring, denn wie im Abschnitt Eigenschaften gezeigt wurde, sind σ-Ringe immer auch stabil bezüglich abzählbaren Schnitten. Umgekehrt sind δ-Ringe jedoch im Allgemeinen keine σ-Ringe. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen

${\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{E\subseteq \Omega \mid |E|<\infty \}}${\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{E\subseteq \Omega \mid |E|<\infty \}},

so handelt es sich um einen δ-Ring, da abzählbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind. Es ist aber kein σ-Ring, denn abzählbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich.

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring. Denn sind die Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...}${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...} im Ring enthalten, so ist auch

${\displaystyle B_{n}:=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}${\displaystyle B_{n}:=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen ${\displaystyle B_{n}}${\displaystyle B_{n}} bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten. Das Mengensystem ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität bezüglich abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer auch eine monotone Klasse.

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

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