Monotone Klasse
Eine monotone Klasse,[1] auch monotones System genannt,[2] ist ein Mengensystem mit speziellen Eigenschaften, welches in der Maßtheorie verwendet wird, um darauf weitere, komplexere Mengensysteme aufzubauen.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Sei {\displaystyle X} eine nicht leere Menge. Eine nicht leere Teilmenge {\displaystyle {\mathcal {M}}} von {\displaystyle P(X)} heißt monotone Klasse,
wenn der Grenzwert jeder monoton auf- oder absteigenden Mengenfolge von Mengen aus {\displaystyle {\mathcal {M}}} wieder in {\displaystyle {\mathcal {M}}} enthalten ist.
Voll ausgeschrieben bedeutet dies:
- sind {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Mengen aus {\displaystyle {\mathcal {M}}} mit
- {\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots },
- dann ist auch
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}} in {\displaystyle {\mathcal {M}}}
- sind {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Mengen aus {\displaystyle {\mathcal {M}}} mit
- {\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots },
- dann ist auch
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}} in {\displaystyle {\mathcal {M}}}
Erzeugte monotone Klasse
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Schnitte von beliebig vielen monotonen Klassen sind wieder monotone Klassen. Somit lässt sich für ein beliebiges Mengensystem {\displaystyle K} die durch {\displaystyle K} erzeugte monotone Klasse definieren als
- {\displaystyle {\mathcal {M}}_{K}:=\bigcap _{{\mathcal {M}}{\text{ ist Monotone Klasse}} \atop K\subset {\mathcal {M}}}{\mathcal {M}}}.
Dies lässt sich als Hüllenoperator interpretieren.
Beziehung zu anderen Mengensystemen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]- Jede monotone Klasse, die die Obermenge {\displaystyle X} enthält und für die gilt: sind {\displaystyle B\subset A} in der monotonen Klasse enthalten, so ist auch {\displaystyle A\backslash B} in der monotonen Klasse enthalten, ist ein Dynkin-System.
- Die von einer Algebra erzeugte monotone Klasse entspricht der von der Algebra erzeugten σ-Algebra.
Ringe und σ-Ringe
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring (und damit auch ein δ-Ring). Denn sind die Mengen {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots } im Ring enthalten, so ist auch
- {\displaystyle B_{n}:=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}
aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen {\displaystyle B_{n}} bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}
aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten, dieses ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.
Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität unter abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer eine monotone Klasse.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6 .
- Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8 .
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]- ↑ Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 23.
- ↑ Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 21.