Mengenverband

In der Mathematik ist ein Mengenverband ein Grundbegriff der Maßtheorie und der Verbandstheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und durchschnittsstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund „einer ungefähren Analogie" zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring".^[1] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, weil dieser in einem engen Zusammenhang zu einem Ring im Sinne der Algebra steht – im Unterschied zu einem allgemeinen Mengenverband.

Sei ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } eine beliebige Menge. Ein System ${\displaystyle {\mathcal {V}}}${\displaystyle {\mathcal {V}}} von Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } heißt ein Mengenverband oder Verband über ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega }, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. ${\displaystyle {\mathcal {V}}\neq \emptyset }${\displaystyle {\mathcal {V}}\neq \emptyset } (${\displaystyle {\mathcal {V}}}${\displaystyle {\mathcal {V}}} ist nicht leer).
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {V}}}${\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {V}}} (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {V}}}${\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {V}}} (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt).

• Über jeder beliebigen Menge ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } ist mit ${\displaystyle \{A\},A\subseteq \Omega ,}${\displaystyle \{A\},A\subseteq \Omega ,} ein kleinster und mit der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )} der größte mögliche Mengenverband gegeben.
• Jede σ-Algebra ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).

• Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes ${\displaystyle {\mathcal {V}}}${\displaystyle {\mathcal {V}}} in ihm enthalten ist, d. h. für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n\in \mathbb {N} } gilt:

${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A_{1}\cup \dots \cup A_{n}\in {\mathcal {V}}}${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A_{1}\cup \dots \cup A_{n}\in {\mathcal {V}}} und ${\displaystyle A_{1}\cap \dots \cap A_{n}\in {\mathcal {V}}.}${\displaystyle A_{1}\cap \dots \cap A_{n}\in {\mathcal {V}}.}

Wenn ${\displaystyle {\mathcal {V}}}${\displaystyle {\mathcal {V}}} ein System von Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }${\displaystyle \Omega } ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle {\mathcal {V}}}${\displaystyle {\mathcal {V}}} ist ein Mengenverband.
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup )}${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup )} und ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cap )}${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cap )} sind Halbverbände im Sinne der Algebra.
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )}${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )} ist ein Verband im Sinne der Algebra.
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )}${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )} ist ein distributiver Verband im Sinne der Algebra.
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )}${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )} ist ein idempotenter kommutativer Halbring im Sinne der Algebra.^[2]
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )}${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )} ist ein Halbring im Sinne der Algebra.

• Ein Mengenring ist ein Mengenverband, der zusätzlich differenzstabil ist.
• Eine Mengenalgebra ist ein Mengenverband, der sogar komplementstabil ist. Mengenalgebren sind spezielle Mengenringe.

• Mengenlehre

• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8. 
• U. Hebisch, H. J. Weinert: Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-519-02091-2. 
• Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim/Zürich 1985, ISBN 3-411-03102-6. 
• Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. erw. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1967. 

1. ↑ Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre . Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 14.  Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe".
2. ↑ Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!

• Mengensystem