Les réels peuvent se définir comme le plus petit espace complet comprenant les rationnels. Un espace complet c'est un espace où les suites de Cauchy convergent. Une suite de Cauchy c'est une suite dont l'écart entre deux termes d'indice supérieur à N tend vers 0 quand N tends vers l'infini.
On peut montre que certaines suites de Cauchy n'ont pas de limite dans les rationnels, et on peut alors introduire les réels comme limite de ces suites. On peut alors redéfinir les opérations usuelles sur les réels, montrer que c'est un ensemble indénombrable, etc.
Après ce n'est qu'une construction possible, il en existe d'autres. Pour les transcendants tu peux montrer qu'ils existent par la suite (et même que quasiment tous les réels sont transcendants).
[^] # Re: Premier langage? Javascript! Première plate-forme,
Posté par Shuba . En réponse au journal Python comme premier langage de programmation ?. Évalué à 2.
Les réels peuvent se définir comme le plus petit espace complet comprenant les rationnels. Un espace complet c'est un espace où les suites de Cauchy convergent. Une suite de Cauchy c'est une suite dont l'écart entre deux termes d'indice supérieur à N tend vers 0 quand N tends vers l'infini.
On peut montre que certaines suites de Cauchy n'ont pas de limite dans les rationnels, et on peut alors introduire les réels comme limite de ces suites. On peut alors redéfinir les opérations usuelles sur les réels, montrer que c'est un ensemble indénombrable, etc.
Après ce n'est qu'une construction possible, il en existe d'autres. Pour les transcendants tu peux montrer qu'ils existent par la suite (et même que quasiment tous les réels sont transcendants).