1の補数

1の補数(いちのほすう、(英: ones' complement)は、2 を位取り記数法の基数とした場合の減基数の補数である^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} 。すなわち、整数 x との和が 2 の冪乗 2ⁿ から 1 を引いた数に等しい数 x_c = (2ⁿ − 1) − x のことをいう(例:2⁴ − 1 = 15 について、4 に対する1の補数は 11)。

数 x とその1の補数 x_c を二進法で表せば、1の補数 x_c は x との和が n 桁の二進数として表せる最大の数となる数といえる(例:2⁴ − 1 = 1111₂ について^{[注 1]} 、4₁₀ = 0100₂ の1の補数は 11₁₀ = 1011₂)。

二進法において、ある数の1の補数を反数と見なせば、決まった桁数の二進数をそれぞれ非負の数と負の数に対応づけられる(#負の数の表現)。

1の補数表現はコンピュータの分野において、固定長の符号付きの整数型などの表現として利用されることがある。

1の補数を用いて二進数を負の整数に対応づけられる。1の補数の定義より、n 桁の二進数 x とその補数 x_c は以下の関係を満たす:

${\displaystyle x+x_{\mathrm {c} }=2^{n}-1,円.}${\displaystyle x+x_{\mathrm {c} }=2^{n}-1,円.}

右辺の 2ⁿ − 1 の倍数を 0 と同一視すれば、上記の関係は以下のように解釈できる:

${\displaystyle x+x_{\mathrm {c} }\equiv 0,円.}${\displaystyle x+x_{\mathrm {c} }\equiv 0,円.}

これは x の補数 x_c を x の反数 −x と見なすことを意味する。

${\displaystyle y-x\equiv y+x_{\mathrm {c} },円.}${\displaystyle y-x\equiv y+x_{\mathrm {c} },円.}

#負の数の表現節の方法で反数および減法が定義されているとする。更に 0 から 2ⁿ⁻¹ − 1 までの非負整数をそのまま通常の位取り記数法における二進表示、

${\displaystyle 0_{2},1_{2},{10}_{2},\dots ,\underbrace {011\cdots 11} _{n{\text{桁}}}{}_{2}}${\displaystyle 0_{2},1_{2},{10}_{2},\dots ,\underbrace {011\cdots 11} _{n{\text{桁}}}{}_{2}}

に対応づければ、これらの数の補数として負の整数に対する1の補数表現が得られる。

具体例として、n = 4 桁の二進数における対応表を以下に示す:

結局、n 桁の二進数の k + 1 桁目の値を b_k ∈ {0, 1} とすれば、1の補数表現は以下のように表せる:

${\displaystyle {b_{n-1}b_{n-2}\cdots b_{1}b_{0}}_{(2)}\mapsto \sum _{k=0}^{n-2}{b_{k}\cdot 2^{k}}-b_{n-1}\cdot (2^{n-1}-1),円.}${\displaystyle {b_{n-1}b_{n-2}\cdots b_{1}b_{0}}_{(2)}\mapsto \sum _{k=0}^{n-2}{b_{k}\cdot 2^{k}}-b_{n-1}\cdot (2^{n-1}-1),円.}

1の補数で表される数は、対応する二進数表示の最上位の値 b_n−1 が 0 なら負でない値を取り、1 なら正でない値を取る。

1の補数表現において、二進数をビット列とみなせば、符号の反転はビット列 x のビットを反転 ^{[注 2]} することによって行える。x とそれをビット反転させた ^fx は常に以下を満たす:

${\displaystyle x+{}^{\mathrm {f} }x\equiv 0,円.}${\displaystyle x+{}^{\mathrm {f} }x\equiv 0,円.}

上記より、x の1の補数は x_c = ^fx と表せる。従って減法は、

${\displaystyle y-x\equiv y+{}^{\mathrm {f} }x}${\displaystyle y-x\equiv y+{}^{\mathrm {f} }x}

と書き換えられる。ビット反転が反数に対応することから、0 は 000...00₂ と 111...11₂ の2つの表現方法を持つ。

• 日本規格協会、情報処理学会 編『JIS X 0005:2002 情報処理用語(データの表現)』日本規格協会、2002年8月31日。 
• ISO; IEC, eds (2015-05). ISO/IEC 2382:2015 Information technology — Vocabulary. ISO/IEC 

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