順像関手
数学の層論や代数幾何学の分野に現れる順像関手(じゅんぞうかんしゅ、英: direct image functor)とは、層の切断の概念を相対的な場合へ一般化するものである。
定義
[編集 ]f: X → Y をある位相空間の連続写像とし、Sh(–) をある位相空間上のアーベル群の層の圏とする。次の順像関手
- {\displaystyle f_{*}:Sh(X)\to Sh(Y)}
は、X 上の層 F をその順像前層(direct image presheaf)
- {\displaystyle f_{*}F:U\mapsto F(f^{-1}(U))}
に送る。この前層は Y 上の層であることが分かる。この割り当ては関手的なものである。すなわち、X 上の層の射 φ: F → G は Y 上の層の射 f∗(φ): f∗(F) → f∗(G) を導く。
例
[編集 ]Y が点であるなら、順像関手は大域切断関手 (英語版)と等しくなる。f: X → Y をある位相空間での連続写像あるいはスキームの射とする。このとき例外逆像(exceptional inverse image)は関手 f!: D(Y) → D(X) である。
応用
[編集 ]同様の定義はエタール層のようなトポスの上の層に対しても適用できる。この場合、上述の原像 f−1(U) の代わりに Y についての U と X のファイバー積 (英語版)が用いられる。
高次順像
[編集 ]順像関手は左完全(left exact)であるが、通常、右完全ではない。したがってその順像の右導来関手を考えることが出来る。それらは高次順像(higher direct images)と呼ばれ、Rq f∗ と表記される。
高次順像に対しても上述と同様の表現が存在することが分かる。すなわち、X 上のある層 F に対して Rq f∗(F) は前層
- {\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}
に対応する層となる。
性質
[編集 ]- 順像関手は、逆像関手 (英語版)の右随伴であり、このことは任意の連続な {\displaystyle f:X\to Y} およびそれぞれ X、Y 上の層である {\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}} に対して、自然同型
- {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}
が存在することを意味する。
- f がある閉部分空間 X ⊂ Y の包含であるなら、f∗ は完全である。実際、この場合 f∗ は X 上の層と Y 上の層の間の同値性となり、それは X 上でサポートされる。この事実より、{\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}} の茎(stalk)は、{\displaystyle y\in X} なら {\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}} で、そうでないならゼロとなる(この証明には Y 内での X の近さ (英語版)が用いられる)。
関連項目
[編集 ]参考文献
[編集 ]- Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-16389-3, MR 842190 , esp. section II.4
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