貴金属比

数学において、貴金属比(ききんぞくひ、英語: metallic ratio)とは、

${\displaystyle 1:{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}${\displaystyle 1:{\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}(n は自然数)

で表される比のことである。

線分比 a : b が第n貴金属比であるとは、

${\displaystyle (b-na):a=a:b}${\displaystyle (b-na):a=a:b}

が成り立つことを意味する。

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}} を貴金属数(ききんぞくすう、英語: metallic number)という。第n貴金属数 M_n は、逆数との差が自然数 n である正の実数、つまり

${\displaystyle M_{n}-{\frac {1}{M_{n}}}=n}${\displaystyle M_{n}-{\frac {1}{M_{n}}}=n}(n は自然数)

で特徴付けられる。

自然数 n に対して、第 n 貴金属数は、二次方程式 x² − nx − 1 = 0 の正の解であり、

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}

である。

• 貴金属数の正の奇数乗は、常に貴金属数である。
• 貴金属数の正の偶数乗は、常に逆数との和が自然数である実数である。

貴金属数の連分数表示は

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}

である。

黄金数(第1貴金属数)が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。

数列 {M_k} を、漸化式

${\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}${\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}

で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、

${\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}${\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}

で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }

が成り立つ。

青銅比(せいどうひ、英語: bronze ratio)は、

${\displaystyle 1:{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}${\displaystyle 1:{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}

の比である。近似値は 1 : 3.303。貴金属比の一つ(第3貴金属比)。

青銅比において

${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}=3.3027756377\cdots }${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}=3.3027756377\cdots }

は、二次方程式 x² − 3x − 1 = 0 の正の解であり、これを青銅数(せいどうすう、英語: bronze number)という。

青銅数を連分数で表すと

${\displaystyle 3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}${\displaystyle 3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}

となる。

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