零因子

抽象代数学において、環の零因子(れいいんし、英: zero divisor)とは、環の乗法において、

零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する

ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。

環 ${\displaystyle R}${\displaystyle R} の元 ${\displaystyle a}${\displaystyle a} は、${\displaystyle ax=0}${\displaystyle ax=0} となる ${\displaystyle x\neq 0}${\displaystyle x\neq 0} が存在するとき、すなわち

${\displaystyle \exists x\in R\smallsetminus \{0\}:ax=0}${\displaystyle \exists x\in R\smallsetminus \{0\}:ax=0}

を満たすときに左零因子(ひだりれいいんし、ひだりぜろいんし、英: left zero divisor)と呼ばれる。この定義では非零元の存在を要求するから、自明な環における0は零因子ではないが、自明な環以外では、0は必ず零因子となる。

また、この定義は、x を ax に送る R から R への写像が単射でないことと同値である^[1] 。同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya = 0 となることである。

左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる^[2] 。左かつ右零因子である元 a は両側零因子(two-sided zero divisor)と呼ばれる(ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない)。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。

環の零因子でない元は正則である(regular)または非零因子(non-zero-divisor)と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子(nonzero zero divisor)または非自明な零因子(nontrivial zero divisor)と呼ばれる。

1. ^ Bourbaki 1989, p. 98 .
2. ^ Lanski 2005, p. 342 .

• Bourbaki, N. (1989), Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag .
• Lanski, C. (2005), Concepts in Abstract Algebra, American Mathematical Soc. 

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