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漸近展開

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。(2015年11月)

漸近展開(ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion)とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析 ^[1]や特殊関数に対する数値解析 ^[2]など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある^[3]。

漸近級数

関数 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} を定義域が実数の領域で定義された関数とし^{[注釈 1]}、 $x_{0}$ {\displaystyle x_{0}} を $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の点とする。

関数列 $\scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。

$\varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )$ {\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ (x\to x_{0})\ \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ldots )}

実数列 $\scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} が存在して、任意の正整数 n に対し

$f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})$ {\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ \ \ \ \ (x\to x_{0})}

が成立するとき、

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)$ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

を $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数といい、

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)$ {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という^[4]。

任意の正整数 n、 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の x に対して

\left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|

{\displaystyle \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|}

が成立する。

漸近関数列が $\scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}} $\scriptstyle (|x_{0}|<\infty )$ {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|<\infty )} または $\scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}} $\scriptstyle (|x_{0}|=\infty )$ {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|=\infty )} の形の漸近級数を、漸近冪級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数 $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)$ {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} が存在する場合、 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は漸近展開

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)$ {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}

を持つという。

性質

一意性

任意の関数 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} に対して、 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば

$1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )$ {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
$1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )$ {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯1つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。

さらに、漸近級数の各係数は

$a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)$ {\displaystyle a_{0}=\lim _{x\to x_{0}}f(x),\ \ \ \ \ a_{n}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}\varphi _{k}(x)}{\varphi _{n}(x)}}\ \ \ (n\geq 1)}

で与えられる。

和と積

点 $x_{0}$ {\displaystyle x_{0}} の近傍で定義された関数 $\scriptstyle f(x),\ g(x)$ {\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)} は、漸近関数列 $\scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} に対する漸近展開

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$ {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

を持つとする。このとき、任意の α、β に対して

$\alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$ {\displaystyle \alpha f(x)+\beta g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

が成立する。

さらに、漸近関数列が $\scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi (x)^{n}\}_{n\geq 0}} $\scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))$ {\displaystyle \scriptstyle (\varphi (x)\to \infty \ (x\to x_{0}))} である場合、

$f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})$ {\displaystyle f(x)g(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi (x)^{n}\ \ \ (c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k})\ \ \ (x\to x_{0})}

が成立する。

項別微分

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 $\scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} は各 n に対して、 $x_{0}$ {\displaystyle x_{0}} の近傍で微分可能であり、関数列 $\scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}} が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。

$\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は、 $x_{0}$ {\displaystyle x_{0}} の近傍で微分可能であり、

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$ {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

となる漸近展開を持ち、 $\scriptstyle f'(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!} が漸近関数列 $\scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}$ {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}} を用いて漸近展開することができるのであれば

$f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$ {\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

が成立する。

項別積分

$\scriptstyle |x_{0}|<\infty$ {\displaystyle \scriptstyle |x_{0}|<\infty } とし、 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近展開を

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$ {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

とする。定積分

$\Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt$ {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\int _{x_{0}}^{x}\varphi _{n}(t)dt}

が各 n に対して存在するならば、

$F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt$ {\displaystyle F(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)dt}

が存在して、

$F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})$ {\displaystyle F(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\Phi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}

が成立する。

$\scriptstyle x_{0}=\infty$ {\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty } のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。例えば、漸近級数が漸近冪級数

$f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )$ {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )}

を持つ場合、

$\int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )$ {\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )}

とする必要がある。

例

スターリングの公式の一般化

ガンマ関数は

$\Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )$ {\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}

という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている^[5]。

合流型超幾何関数

合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function):

_{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C}

{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} }

は次の漸近展開を持つ^[6]^[7]^[8]。

_{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .

{\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z)\sim {\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\gamma -\alpha )}}(\exp(-\mathrm {i} \pi )z)^{-\alpha }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha -\gamma +1)_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right]+{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}\exp(z)z^{\alpha -\gamma }\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\gamma -\alpha )_{k}(1-\alpha )_{k}}{k!}}{\frac {1}{z^{k}}}\right],\quad -{\frac {\pi }{2}}<\arg(z)<{\frac {3\pi }{2}},\quad |z|\to \infty .}

$\arg$ {\displaystyle \arg }は複素数の偏角であり、 $(\alpha )_{k}$ {\displaystyle (\alpha )_{k}}はポッホハマー記号 ^[9]である。

誤差関数

$\operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$ {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}

は、以下の様な漸近展開を持つ^[10]。

$\operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )$ {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\sim {\frac {e^{-x^{2}}}{{\sqrt {\pi }}x}}\left(\ 1-{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1\cdot 3}{2^{2}x^{4}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2^{3}x^{6}}}+\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}

指数積分

$\operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt$ {\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{x-t}}{t}}dt}

の漸近展開は、

$\operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )$ {\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}

で与えられる。

ラプラス変換

$\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} を何回でも微分可能な関数としたとき、 $\scriptstyle f(x)\!$ {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} のラプラス変換

$F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt$ {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt}

の漸近展開は、

$F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )$ {\displaystyle F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}

で与えられる。

微分方程式の解

微分方程式

$x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!$ {\displaystyle x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!}

の解は

$y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt$ {\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt}

で与えられ、

$y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)$ {\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)} 。

という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の $\scriptstyle x\neq 0$ {\displaystyle \scriptstyle x\neq 0} で収束しないが^{[注釈 2]}、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

調和級数

調和級数は

H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,

{\displaystyle H_{n}\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,}

という漸近展開を持つ^[11]。ここで、 $\gamma$ {\displaystyle \gamma }はオイラー・マスケローニ定数、 $B_{k}$ {\displaystyle B_{k}}はベルヌーイ数である。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 漸近展開は複素数の領域にも拡張することができるが、ここでは定義や結果等を簡単にするため、実数の領域に限定する。
^ 各 x に対して、最初の数項(項数は x に依存する)までの和を取れば、積分表示された解のいい近似を与える。

出典

^ Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
^ Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
^ 伏見 p. 22
^ 伏見 p. 27
^ 伏見 p. 24
^ 犬井鉄郎. 特殊関数. 岩波書店.
^ 時弘哲治. 工学における特殊関数. 共立出版.
^ functions.wolfram.com
^ Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
^ Weisstein, Eric W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html

学習用図書

和書

大久保謙二郎、河野, 實彦『漸近展開』教育出版、東京〈シリーズ新しい応用の数学〉、1976年。ISBN 4316376306。
ハイラー, E.、ワナー, G. 著、蟹江幸博訳『解析教程』上、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997a。ISBN 4431707506。
ハイラー, E.、ワナー, G. 著、蟹江幸博訳『解析教程』下、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997b。ISBN 4431707514。
柴田正和『漸近級数と特異摂動法: 微分方程式の体系的近似解法』森北出版、東京、2009年。ISBN 9784627076310。
柴田正和:「常微分方程式の局所漸近解析:特異点・臨界点が解の大域的性質を明らかにする」、森北出版、ISBN 978-4-627-07651-8 (2010年8月10日).
江沢洋:「漸近解析入門」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006279-4
伏見康治:「確率論及統計論」(第I章:数学的補助手段,3節:漸近展開)(1948年);現代工学社から1977年に復刻版「確率論および統計論」、ISBN 978-4-87472012-7。https://web.archive.org/web/20160327114852/http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/2049-4 (2013年8月29日).

洋書

Erdélyi, A.: Asymptotic expansions, Dover Publications, ISBN 0-486-60318-0 (1956年).
Bruijn N.G.: Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, ISBN 0-486-64221-6 (1958年).
Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: en:Academic Press.
Bleistein, Norman and Handelsman Richard A.: Asymptotic Expansions of Integrals, Dover Publications, ISBN 0-486-65082-0 (1975年).
Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique. en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. en:Springer Science & Business Media.
Paris, R.B.: Hadamard Expansions and Hyperasymptotic Evaluation: An Extension of the Method of Steepest Descents, Cambridge University Press(Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 141), ISBN 978-1-107-00258-6 (2011年).

関連項目

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