普遍包絡代数

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(普遍)包絡代数(ふへんほうらくだいすう、英: universal enveloping algebra, 仏: algèbre enveloppante)あるいは(普遍)展開代数とは、任意のリー代数 ${\mathfrak {g}}$ {\displaystyle {\mathfrak {g}}} から構成される、ある性質を満たす単位的結合代数 $U({\mathfrak {g}})$ {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} と準同型写像 $i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ {\displaystyle i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})} の組 $(U({\mathfrak {g}}),i)$ {\displaystyle (U({\mathfrak {g}}),i)} のことをいう。

定義

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${\mathfrak {g}}$ {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を任意のリー代数とする。このとき以下の普遍性質を満たす結合代数 A とリー代数の準同型写像 $i:{\mathfrak {g}}\to A$ {\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to A} の組 $(A,i)$ {\displaystyle (A,i)} が存在する(A は交換子積によってリー代数とみる)。任意の結合代数 $A'$ {\displaystyle A'} とリー代数準同型写像 $i'\colon {\mathfrak {g}}\to A'$ {\displaystyle i'\colon {\mathfrak {g}}\to A'} に対し、結合代数の準同型写像 $f\colon A\to A'$ {\displaystyle f\colon A\to A'} で、 $f\circ i=i'$ {\displaystyle f\circ i=i'} を満たすものが唯一つ存在する。このような $(A,i)$ {\displaystyle (A,i)} は同型を除いて一意的に存在し、普遍包絡代数といい、A を $U({\mathfrak {g}})$ {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} で表す:

構成

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${\mathfrak {g}}$ {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をリー代数、 $T({\mathfrak {g}})$ {\displaystyle T({\mathfrak {g}})} をそのベクトル空間としてのテンソル代数とする。また、 ${\mathcal {I}}$ {\displaystyle {\mathcal {I}}} を $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\quad (x,y\in {\mathfrak {g}})$ {\displaystyle x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\quad (x,y\in {\mathfrak {g}})} が生成する両側イデアルとする。これによって

U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/{\mathcal {I}}

{\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/{\mathcal {I}}}

とする。自然な写像 $T({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})$ {\displaystyle T({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})} を ${\mathfrak {g}}$ {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に制限して $i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ {\displaystyle i\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})} が定まり、 $(U({\mathfrak {g}}),i)$ {\displaystyle (U({\mathfrak {g}}),i)} は普遍包絡代数になる。