数論トポロジー

数論トポロジー (arithmetic topology) とは、代数的整数論と位相幾何学を組み合わせた数学の分野である。数論トポロジーは数体と向き付け可能な 3次元閉多様体 (英語版)の間の類似を確立する。

次のことは数学者により使われている数体と 3 次元多様体の間のいくつかの類似である。^[1]

1. 数体と向き付け可能な 3 次元閉多様体との対応
2. 整数環のイデアルは、絡み目と対応し、素イデアルは結び目と対応する。
3. 有理数体 Q は 3次元球面と対応する。

後ろ 2つの例を拡張し、素数と素数の間の「絡まり」(link)を考える結び目と素数の間の類似が存在する。素数の三つ組 (13, 61, 937) は modulo 2 で「絡まっている」(レダイの記号 (英語版)は −1 である)が、modulo 2 で「どの 2 つも絡まっていない」(ルジャンドル記号はすべて 1 である)。これらの素数は、「固有ボロミアン三つ組み modulo 2」と呼ばれる^[2] 、かまたは、「mod 2 ボロミアン素数」と呼ばれる^[3] 。

1960年代、類体論はトポロジカルな解釈がジョン・テイト (John Tate) によりガロアコホモロジーに基づいて与えられ^[4] 、またミハイル・アルティン](Michael Artin) とジャン・ルイ・ヴェルディエ (英語版) (Jean-Louis Verdier) によってもエタールコホモロジーに基づいて与えられている^[5] 。デヴィッド・マンフォード (David Mumford) は(独立にユーリ・マニン (Yuri Manin) によっても)、素イデアルと結び目の類似性が指摘され^[6] 、バリー・メイザー (Barry Mazur) によりさらに深く研究された^{[7] [8]} 。1990年代、レズニコフ (Reznikov)^[9] とカプラノフ (Kapranov)^[10] は、これらの類似の研究を開始し、この研究分野に数論トポロジーということばをあてはめた。

• 数論幾何
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• 位相的場の理論
• ラングランズ・プログラム

1. ^ Sikora, Adam S. "Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields." Commentarii Mathematici Helvetici 78.4 (2003): 832-844.
2. ^ Vogel, Denis (13 February 2004), Massey products in the Galois cohomology of number fields, urn:nbn:de:bsz:16-opus-44188 , http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/4418  
3. ^ Morishita, Masanori (22 April 2009), Analogies between Knots and Primes, 3-Manifolds and Number Rings, arXiv:0904.3399  
4. ^ J. Tate, Duality theorems in Galois cohomology over number fields, (Proc. Intern. Cong. Stockholm, 1962, pp. 288-295).
5. ^ M. Artin and J.-L. Verdier, Seminar on étale cohomology of number fields, Woods Hole, 1964.
6. ^ Who dreamed up the primes=knots analogy? Archived 2011年7月18日, at the Wayback Machine., neverendingbooks, lieven le bruyn's blog, may 16, 2011,
7. ^ Remarks on the Alexander Polynomial, Barry Mazur, c.1964
8. ^ B. Mazur, Notes on ́etale cohomology of number fields, Ann. scient. ́Ec. Norm. Sup. 6 (1973), 521-552.
9. ^ A. Reznikov, Three-manifolds class field theory (Homology of coverings for a nonvirtually b1-positive manifold), Sel. math. New ser. 3, (1997), 361–399.
10. ^ M. Kapranov, Analogies between the Langlands correspondence and topological quantum field theory, Progress in Math., 131, Birkhäuser, (1995), 119–151.

• Masanori Morishita (2011), Knots and Primes, Springer, ISBN 978-1-4471-2157-2

• Masanori Morishita (2009), Analogies Between Knots And Primes, 3-Manifolds And Number Rings
• Christopher Deninger (2002), A note on arithmetic topology and dynamical systems
• Adam S. Sikora (2001), Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields
• Curtis T. McMullen (2003), From dynamics on surfaces to rational points on curves
• Chao Li and Charmaine Sia (2012), Knots and Primes ^{[リンク切れ ]}

• Mazur’s knotty dictionary

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