四極子
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四極子(しきょくし、英: quadrupole, quadrapole)または四重極とは、モーメントが等しい双極子が、2個逆向きに接近して並んでいるような単極子の分布をいう。単極子を正方形状に配置したものと、直線状に配置したものがあり、それぞれ横型、縦型と呼び分けられる。 また、有限の大きさの電荷分布が作る場を多重極展開 (英語版)したときにも現れる。
電荷の分布を電気四極子、磁荷の分布を磁気四極子という。電磁気学においては単に四極子といえば、電気四極子を指すことが多い。
電気四極子モーメントは2階の対称テンソルであり、以下のように定義される [1] [2] :
- {\displaystyle Q_{ij}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})r_{i}r_{j}}
ここで、{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})} は位置 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} における電荷密度で、添字 {\displaystyle i,j\in \{x,y,z\}} である。直積を用いると
- {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}}
あるいはトレースなしのテンソルとして以下のように定義される[2] :
- {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})(3r_{i}r_{j}-\delta _{ij}r^{2})={\frac {1}{2}}\left[3Q_{ij}-\delta _{ij}(Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz})\right]\\{\boldsymbol {\Theta }}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V\rho ({\boldsymbol {r}})(3{\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {1}}r^{2})={\frac {1}{2}}(3{\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {1}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {Q}})\end{aligned}}}
{\displaystyle \delta } はクロネッカーのデルタである。
電気四極子モーメントによる電位 {\displaystyle \phi } は
- {\displaystyle \phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {{\boldsymbol {r}}^{\intercal }{\boldsymbol {\Theta }}{\boldsymbol {r}}}{r^{5}}}}
で与えられる。{\displaystyle \epsilon } は 誘電率 である。
一般に四極子のポテンシャルφは単極子のそれφmonopole の空間についての2階微分で表される[3] 。
- {\displaystyle \phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\phi _{\mathrm {monopole} }} (横型)
- {\displaystyle \phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\phi _{\mathrm {monopole} }} (縦型)
また、音響学においても用いられ[4] 、音源の一種として扱われる。
参考文献
[編集 ]- ^ 太田浩一『電磁気学の基礎I』シュプリンガー・ジャパン、2007年、71頁。ISBN 978-4-431-72739-2。
- ^ a b E Richard Cohen; Tom Cvitas; Jeremy G Frey et al., eds. (2007), Quantities, Units, and Symbols in Physical Chemistry (3rd ed.), RSC Publishing, doi:10.1039/9781847557889, ISBN 978-0-85404-433-7
- ^ 吉川茂; 藤田肇『基礎音響学』講談社サイエンティフィク、2002年、187頁。ISBN 4-06-153972-8。
- ^ Earl G. Williams 著、吉川茂、西條献児 訳『フーリエ音響学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2005年、243頁。
- 『物理学辞典』 培風館、1984年