反傾表現

${\displaystyle G}${\displaystyle G} が群で、${\displaystyle \rho }${\displaystyle \rho } がベクトル空間 ${\displaystyle V}${\displaystyle V} 上の ${\displaystyle G}${\displaystyle G} の線型表現であるとき、反傾表現(はんけいひょうげん、英: contragredient representation)あるいは双対表現(そうついひょうげん、英: dual representation)${\displaystyle \rho ^{*}}${\displaystyle \rho ^{*}} は以下のようにして双対ベクトル空間 ${\displaystyle V^{*}}${\displaystyle V^{*}} 上定義される^[1] :

${\displaystyle \rho ^{*}(g)}${\displaystyle \rho ^{*}(g)} は ${\displaystyle \rho \left(g^{-1}\right)}${\displaystyle \rho \left(g^{-1}\right)} の転置である、つまり、すべての ${\displaystyle g\in G}${\displaystyle g\in G} に対して ${\displaystyle \rho ^{*}(g)=\rho \left(g^{-1}\right)^{T}}${\displaystyle \rho ^{*}(g)=\rho \left(g^{-1}\right)^{T}} である。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}${\displaystyle {\mathfrak {g}}} がリー環で ${\displaystyle \pi }${\displaystyle \pi } がベクトル空間 ${\displaystyle V}${\displaystyle V} 上のその表現であれば、反傾表現 ${\displaystyle \pi ^{*}}${\displaystyle \pi ^{*}} は以下のようにして双対ベクトル空間 ${\displaystyle V^{*}}${\displaystyle V^{*}} 上定義される^[2] :

すべての ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} に対して ${\displaystyle \pi ^{*}(X)=-\pi (X)^{T}}${\displaystyle \pi ^{*}(X)=-\pi (X)^{T}} である。

いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。

ユニタリ表現に対しては、反傾表現は共役表現 (フランス語版)と等しい。

表現論において、${\displaystyle V}${\displaystyle V} のベクトルと ${\displaystyle V^{*}}${\displaystyle V^{*}} の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から(行列の乗法によって)作用できる。線型汎関数 ${\displaystyle \varphi }${\displaystyle \varphi } の ${\displaystyle v\in V}${\displaystyle v\in V} への作用 ${\displaystyle \varphi (v)}${\displaystyle \varphi (v)} は行列の乗法

${\displaystyle \left\langle \varphi ,v\right\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}${\displaystyle \left\langle \varphi ,v\right\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}

によって表現できる。ただし上付きの ${\displaystyle T}${\displaystyle T} は行列の転置を表す。群${\displaystyle G}${\displaystyle G}の作用と整合的であるためには

${\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \varphi ,v\right\rangle }${\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \varphi ,v\right\rangle }

が要求される^[3] 。反傾表現の定義から、

${\displaystyle \left\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left(\rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi \right)^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho \left(g^{-1}\right)\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\left\langle \varphi ,v\right\rangle }${\displaystyle \left\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left(\rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi \right)^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho \left(g^{-1}\right)\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\left\langle \varphi ,v\right\rangle }

となり、整合性を持つことが確かめられる。

リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、${\displaystyle \Pi }${\displaystyle \Pi } がリー群の表現であれば、

${\displaystyle \pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}}${\displaystyle \pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}}

によって与えられる ${\displaystyle \pi }${\displaystyle \pi } はそのリー環の表現である。${\displaystyle \Pi ^{*}}${\displaystyle \Pi ^{*}} が ${\displaystyle \Pi }${\displaystyle \Pi } に双対であれば、その対応するリー環の表現 ${\displaystyle \pi ^{*}}${\displaystyle \pi ^{*}} は、

${\displaystyle \pi ^{*}(X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}\left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{-tX}\right)^{T}\right|_{t=0}=-\pi (X)^{T}}${\displaystyle \pi ^{*}(X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}\left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{-tX}\right)^{T}\right|_{t=0}=-\pi (X)^{T}}

で与えられる^[4] 。

• 群 ${\displaystyle G}${\displaystyle G} の2つの表現 ${\displaystyle \left(\rho _{1},V_{1}\right)}${\displaystyle \left(\rho _{1},V_{1}\right)} と ${\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)}${\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)} から、次のようにして ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)}${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)} 上の ${\displaystyle G}${\displaystyle G} の表現 ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\rho _{1},\rho _{2}\right)=\rho }${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\rho _{1},\rho _{2}\right)=\rho } が定義される^[5] :

すべての ${\displaystyle g\in G}${\displaystyle g\in G} とすべての ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)}${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)} に対して、${\displaystyle \rho (g)(f)=\rho _{2}(g)\circ f\circ \rho _{1}\left(g^{-1}\right)}${\displaystyle \rho (g)(f)=\rho _{2}(g)\circ f\circ \rho _{1}\left(g^{-1}\right)}。

反傾表現は、${\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)}${\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)} が自明表現の場合である。

• 環上の加群は一般には反傾表現を持たないが、ホップ代数上の加群は持つ。

• 複素共役表現 (英語版)
• キリロフの指標公式 (英語版)

1. ^ Lecture 1 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6  , p. 4
2. ^ Lecture 8 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6  , p. 111
3. ^ Lecture 1, page 4 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6  
4. ^ Lecture 8, page 111 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6  
5. ^ A. Chambert-Loir, Introduction aux groupes et algèbres de Lie, cours de master 2 à l'université de Rennes 1 (2004-2005), p. 21

• 群の表現論
• 表現論
• リー環論
• 数学に関する記事