双曲線

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双曲線(そうきょくせん、英: hyperbola)とは、2次元ユークリッド空間 R² 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。

この2点 F, F' は焦点 と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。

2次元 直交座標系において、双曲線の2焦点の座標をそれぞれ ${\displaystyle (a,b)}${\displaystyle (a,b)}, ${\displaystyle (c,d)}${\displaystyle (c,d)}、焦点からの距離の差の絶対値を ${\displaystyle k}${\displaystyle k} とする。このとき双曲線の方程式は、次のように表される。これを一般形という。

${\displaystyle \left|{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}-{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-d)^{2}}},円\right|=k}${\displaystyle \left|{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}-{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-d)^{2}}},円\right|=k}

この方程式は、うまく式変形することにより、必ず

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} (ただし ${\displaystyle A,B,C,D,E,F}${\displaystyle A,B,C,D,E,F} は実数)

という形に表すことができる。証明は以下の通り。

双曲線の標準形

標準形	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}
漸近線	${\displaystyle {\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0}${\displaystyle {\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0}	${\displaystyle {\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0}${\displaystyle {\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0}
焦点	${\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}${\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}	${\displaystyle (0,\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}})}${\displaystyle (0,\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}})}
頂点	${\displaystyle (\pm {a},0)}${\displaystyle (\pm {a},0)}	${\displaystyle (0,\pm {b})}${\displaystyle (0,\pm {b})}
準線	${\displaystyle x=\pm {\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}${\displaystyle x=\pm {\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}	${\displaystyle y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}${\displaystyle y=\pm {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
離心率	${\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}}${\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}}	${\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{b}}}${\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{b}}}

双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。これを標準形という。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} (*)

この場合、焦点の座標は

${\displaystyle F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)\ ,\ F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}${\displaystyle F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)\ ,\ F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}

と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF − PF'| は 2a となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±a, 0) を双曲線の頂点という。

双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 ${\displaystyle e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}}${\displaystyle e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}} に等しい。

また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0\ ,\ {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0}${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0\ ,\ {\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}=0}

である。

特に、漸近線が直交している、すなわち a = b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。

反比例のグラフ xy = C も双曲線の一種である。これは、直角双曲線:x² − y² = 2C を原点の回りに 45° = π/4 だけ回転させた双曲線に等しい。

双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。

${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}}${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t\\y=b\sinh t\end{cases}}}

また双曲線から左側の頂点 (−a, 0) を除けば有理関数を用いて媒介変数表示することもできる。

${\displaystyle {\begin{cases}x=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\y=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{cases}}}${\displaystyle {\begin{cases}x=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\y=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{cases}}}

ただし t ≠ ±1 とする。右側の連結成分は −1 < t < 1 に、左下の連結成分は t > 1 に、左上の連結成分は t < −1 に対応する。これは二点 (−a, 0) と (0, tb) を通る直線 ay = tb(x + a) と双曲線との交点のひとつとして得られる。

双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。

離心率が e であるような円錐曲線を C_e とする。このとき、e > 1 であれば、 C_e は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = −f , 焦点の一つが F(f, 0) となったとする。双曲線の任意の点 P(x, y) に対し、方程式

${\displaystyle e(x-f)=\mathrm {PF} }${\displaystyle e(x-f)=\mathrm {PF} }

が成立するが、${\displaystyle \mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}}${\displaystyle \mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}} となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、

${\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}}${\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}}

さらに x に関して平方完成させることにより、

${\displaystyle \left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}}${\displaystyle \left(x+\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)f\right)^{2}-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=\left({\frac {2e}{e^{2}-1}}f\right)^{2}}

これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動:${\displaystyle X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f}${\displaystyle X=x+{\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}f} , Y = y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。

• 田端毅、讃岐勝、礒田正美 著、礒田正美・Maria G. Bartolini Bussi 編 編『曲線の事典 性質・歴史・作図法』共立出版、2009年12月25日。ISBN 978-4-320-01907-2。 
• 中村滋『円錐曲線 歴史とその数理』共立出版〈数学のかんどころ 7〉、2011年12月30日。ISBN 978-4-320-01987-4。 

• 『双曲線』 - コトバンク
• 『双曲線』 - 高校数学の美しい物語
• 双曲線の定義・標準形・焦点・漸近線、双曲線の方程式の決定
• 双曲線の知識まとめ(焦点・漸近線・方程式・媒介変数表示・接線公式)
• 双曲線の方程式
• デカルトの双曲線作図器1
• Weisstein, Eric W. "Hyperbola". mathworld.wolfram.com (英語).

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