加群の台

可換環論において、可換環 A 上の加群 M の台 (support) は $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ {\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0} であるような A のすべての素イデアル ${\mathfrak {p}}$ {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の集合である^[1]。それは $\operatorname {Supp} (M)$ {\displaystyle \operatorname {Supp} (M)} で表記される。

\operatorname {Supp} (M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.

{\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.}

特に、M = 0 であることとその台が空であることは同値である。

0 → M′ → M → M′′ → 0 を A-加群の完全列とする。このとき
$\operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').$ {\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').}
M が部分加群 M_λ の和であれば、
$\operatorname {Supp} (M)=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} (M_{\lambda }).$ {\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} (M_{\lambda }).}
M が有限生成 A-加群であれば、Supp(M) は M の零化イデアルを含むすべての素イデアルの集合である。

\operatorname {Supp} (M)=V(\operatorname {Ann} M)

{\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=V(\operatorname {Ann} M)}

特に、それは閉である。

M, N が有限生成 A-加群であれば、
$\operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).$ {\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).}
M が有限生成 A-加群であり、I が A のイデアルであれば、Supp(M/IM) は I + Ann(M) を含むすべての素イデアルの集合である。